Десятичная дробь. Часть 4. Как записывается десятичная дробь.

Итак, в части третьей мы рассмотрели, как мы можем превратить обычную дробь в дробь, знаменатель которой равен 10, 100, 1000 и так далее.

действий

1. Возьмем дробь

$$ 43\frac{14}{1000} $$

2. Смотрим сколько разрядов у нас в целой части. У нас 4 десятка и 3 единицы. То есть в целой части у нас два разряда. Запишем:

43

3. Ставим запятую. Это граница, отделяющая целую часть от дробной. Запись целой части окончена.

43,

4. Начинаем записывать дробную часть. Посмотрим на знаменатель нашей дроби. Сколько в нем нулей? Три. Ставим после запятой три точки. Это разряды, которые мы должны заполнить.

43, • • •

5. Начинаем заполнять разряды. Мы должны вписать сюда наш числитель, число 14. Заполняем справа налево (⇐). То есть последнюю цифру числителя — цифру 4, пишем в последний разряд.

43, • • 4

6. Продолжаем заполнять справа налево(⇐). То есть следующую цифру числителя — цифру 1, пишем в разряд, который находится перед цифрой 4.

43, • 1 4

6. Сейчас у нас остался один незаполненный разряд. Но цифр в числителе больше нет. Значит, и единиц в этом разряде не будет. Что мы пишем, чтобы показать что в разряде нет единиц? Нуль. Вот его и напишем вместо последней точки.

43, 0 1 4

Итак, мы записали дробь $$ 43\frac{14}{1000} $$

в виде десятичной дроби

43, 014

десятичной дроби

 

Десятичная дробь. Примечание к части 3.

Перед тем как мы начнем раскладывать знаменатель важно убедиться, что дробь больше нельзя сократить (если, конечно, от нас не требуют, чтобы мы использовали дробь в таком виде, как нам её дали и не сокращали её).

Пример:

У нас есть дробь

$$ \frac{3}{60} $$

Раскладываем знаменатель:

шестидесятых

Мы видим, что эту дробь невозможно превратить в конечную десятичную дробь.

Но если мы сократим дробь $$ \frac{3}{60} $$

то получим дробь$$ \frac{1}{20} $$

Раскладываем знаменатель:

двадцатая

Эту дробь мы можем превратить в конечную.

Поэтому чтобы не делать ошибок, нужно проверить, сократили мы дробь до конца или можно ещё.

 

Десятичная дробь. Часть 3. Конечная или бесконечная?

Итак, теперь мы должны научится производить с  десятичными дробями такие же действия, как и с обыкновенными дробями: научимся их сравнивать, складывать, вычитать, умножать и делить. На первом этапе мы должны помнить, что все эти действия мы будем выполнять с конечными десятичными дробями.

Для этого нам надо понять, что же такое конечные десятичные дроби и бесконечные десятичные дроби.

Конечная десятичная дробь — это дробь, у которой после запятой стоит конечное число цифр.

Бесконечная десятичная дробь — это дробь, у которой после запятой стоит бесконечное число цифр.

О бесконечных дробях мы поговорим чуть позже. Но для начала нам нужно научится определять какая десятичная дробь получится из обыкновенной дроби — конечная или бесконечная?

.jpg

Обыкновенную дробь можно перевести в конечную десятичную дробь, если её знаменатель раскладывается только на множители 2 и 5 (которые могут повторяться).

действий

Этап 1. Возьмем обыкновенную дробь

$$ \frac{11}{40} $$

Этап 2. Разложим знаменатель этой дроби на простые множители.

знаменатель сорок

Здесь простые множители содержат только числа 2 и 5 (двойка повторяется, но это разрешено правилом).

 

 

 

 

Мы можем также записать это:

в простых множителях           или        в простых множителях со степенями

И тогда мы получаем:

сорок в виде дроби     или    сорок в виде дроби со степенями

Этап 3. Переведем нашу обыкновенную дробь в десятичную

Как это сделать? Ведь знаменатель дроби — число 40, а мы знаем, что у десятичных дробей знаменателем должен равняться 10, 100, 1000 и так далее (то есть одной из степеней числа 10).

Воспользуемся основным свойством дроби, оно гласит, что если мы умножим и числитель, и знаменатель дроби на одно и то же число, то получится дробь, равная той, которую мы умножили.

Подумаем, на что мы должны умножить число 40. Мы понимаем, что знаменатель 100 у нас не получится, значит, нужно умножить 40 на 25 и мы получим 1000.

Согласно основному свойству дроби, которое мы написали выше, если мы умножили знаменатель на 25, то и числитель мы тоже должны умножить на 25.  Умножаем 11 на 25 и получаем 275.

Итак, мы получили дробь

$$ \frac{275}{1000} $$

Теперь нам нужно только записать её в виде десятичной дроби. Как это сделать мы рассмотрим в следующей части.

А сейчас рассмотрим пример, когда знаменатель дроби показывает нам, что конечной десятичной дроби у нас не получится.

Этап 1. Возьмем обыкновенную дробь

$$ \frac{7}{15} $$

Этап 2. Разложим знаменатель этой дроби на простые множители.15

Здесь один из простых множителей — это число 3 . Можно и не продолжать дальше —  и так понятно, что здесь может быть только бесконечная десятичная дробь.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Десятичная дробь. Часть 2. Определение десятичной дроби

Десятичная дробьэто дробь, у которой знаменатель является степенью числа 10 и которую записывают в более простой форме, не записывая знаменатель, а отделяя целую и дробную часть друг от друга запятой (определение из учебника математики за 6 класс С.М. Никольского).

Теперь нам нужно понять как получается десятичная дробь.

Давайте на минутку вернемся к обыкновенным дробям и вспомним, что такое черта, которая разделяет числитель и знаменатель (дробная черта). Это знак деления. Как мы помним, любую обыкновенную дробь мы можем записать тремя способами: Продолжить чтение «Десятичная дробь. Часть 2. Определение десятичной дроби»

Десятичная дробь. Часть 1. Разряды целой и дробной частей.

Прежде чем писать о свойствах десятичных дробей и правилах, по которым они работают, нужно дать им определение.
Десятичные дроби — это особая запись обыкновенных дробей, у которых знаменатель равен 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000 и так далее.

Если вы приступили к изучению десятичных дробей, значит вы уже освоили обыкновенные. Поэтому главное, что следует запомнить, что десятичные дроби — это не новый вид дробей, а просто новый способ записать такие обыкновенные дроби, у которых знаменатель — это степень числа 10 (потому что 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000 — это степени числа 10).

Разряды целой части десятичной дроби

Давайте вспомним разряды десятичной системы:

Разряд единиц (1) – это 100, мы же помним, что любое число в нулевой степени – это единица, да? Следовательно, 100 = 1. Этот разряд показывает сколько единиц содержит целая часть нашей десятичной дроби.

Разряд десятков (10) – это 101, да-да, любое число в 1 степени – это и есть само это число. Следовательно, 101 = 10. Этот разряд показывает сколько десятков содержит целая часть нашей десятичной дроби.

Разряд сотен (100) – это 102, возведем 10 во вторую степень (10•10 = 100) и получим 102 = 100. Этот разряд показывает сколько сотен содержит целая часть нашей десятичной дроби.

Разряд тысяч (1000) – это 103, возведем 10 в третью степень (10•10 •10 = 1000) и получим  103 = 1000.Этот разряд показывает сколько тысяч содержит целая часть нашей десятичной дроби.

Разряд десятков тысяч (10 000) – это 104, возведем 10 в четвертую степень (10•10 •10 •10 = 10 000) и получим  104 = 10 000. Этот разряд показывает сколько десятков тысяч содержит целая часть нашей десятичной дроби.

Разряд сотен тысяч (100 000) – это 105, возведем 10 в пятую степень (10•10 •10 •10 •10 = 100 000) и получим  105 = 100 000. Этот разряд показывает сколько сотен тысяч содержит целая часть нашей десятичной дроби.

И так далее. Все разряды мы рассматривать не будем. Но чем дальше мы будем продвигаться влево (<—), тем больше единиц будет содержать целая часть десятичной дроби. Чем ближе к запятой, тем меньше разряд целой части. Наименьший разряд — единицы.

Почему десятичная система называется десятичной? Потому что её разряды — это степени числа 10.

Теперь давайте повторим, как устроена десятичная дробь (сейчас мы будем говорить только о положительных десятичных дробях, то есть о дробях со знаком плюс). Как раз для этого нам понадобятся разряды, которые мы сейчас вспомнили.

Как вы уже поняли, десятичная дробь делится на две части: первая часть называется целой, далее мы ставим запятую, и пишем дробную часть.

Десятичная дробь и ее части

О разрядах целой части мы только что поговорили. Но и дробная часть имеет разряды.

Чем они отличаются от разрядов целой части? Разряды целой части говорят нам сколько целых единиц или десятков или сотен и так далее содержит наша десятичная дробь.

Возьмем наш первый пример (см рисунок). Сколько в числе целых единиц? Две.

Во втором примере? Там вообще нет целых единиц. Именно поэтому мы написали в целой части нуль единиц.

В третьем примере? 158 единиц или 1 сотню, 5 десятков и 8 единиц содержит наша целая часть.

Разряды дробной части

Теперь посмотрим на разряды дробной части. Их названия похожи на разряды целой части. В целой части — разряд десятков, в дробной части — разряд десятых. В целой части — разряд сотен, в дробной — разряд сотых. И так далее.

Какие бы разряды мы не взялись рассматривать в дробной части, все они будут меньше единицы. Ведь что нам показывает дробная часть? Она показывает, сколько частей и каких частей содержит наше число. Если в целой части мы говорили о том, что наши разряды — это степени числа 10, то здесь, в дробной части, разряды — это степени числа 0,1.

Разряд десятых (0,1) — показывает сколько десятых частей единицы содержит дробная часть нашего числа. Это 0,11, а так как число в первой степени — это и есть само это число, то и разряд у нас называется десятые.

Разряд сотых (0,01) — показывает сколько сотых частей единицы содержит дробная часть нашего числа. Это 0,12, возведем 0,1 во вторую степень (0,1 • 0,1 = 0,01) и получим одну сотую, поэтому разряд у нас называется сотые.

Разряд тысячных (0,001) — показывает сколько тысячных частей единицы содержит дробная часть нашего числа. Это 0,13, возведем 0,1 во третью степень (0,1 • 0,1 • 0,1= 0,001) и получим одну тысячную, поэтому разряд у нас называется тысячные.

Разряд десятитысячных (0,0001) — показывает сколько десятитысячных частей единицы содержит дробная часть нашего числа. Это 0,14, возведем 0,1 во четвертую степень (0,1 • 0,1 • 0,1 • 0,1= 0,0001) и получим одну десятитысячную, поэтому разряд у нас называется десятитысячные.

Разряд стотысячных (0,00001) — показывает сколько стотысячных частей единицы содержит дробная часть нашего числа. Это 0,15, возведем 0,1 во пятую степень (0,1 • 0,1 • 0,1 • 0,1 • 0,1= 0,00001) и получим одну стотысячную, поэтому разряд у нас называется стотысячные.

И так далее. Все разряды мы рассматривать не будем. Но чем дальше мы будем продвигаться вправо (—>), тем меньше будут становиться части, на которые делится единица. Чем ближе к запятой, тем крупнее части, на которые разбита единица. Самые крупные части — разряд десятых.

Рассмотрим ещё раз на примерах и на сегодня закончим.

Первый пример.IMG_1330 3 Как мы уже сказали, в целой части здесь 2 единицы. В дробной части — пять десятых частей единицы (принято говорить просто «пять десятых»). Если мы запишем  обыкновенную дробь  в виде десятичной дроби, это будет выглядеть вот так : 2,5. Читается как «две целых, пять десятых» (то есть две целых единицы и пять десятых частей единицы)

Второй примерIMG_1331 Здесь целой части нет, поэтому в целой части мы пишем нуль единиц. Дробная часть содержит 18 тысячных частей единицы (принято говорить просто «18 тысячных»).Если мы запишем  эту обыкновенную дробь  в виде десятичной дроби, это будет выглядеть вот так : 0,018. Читается как «нуль целых, восемнадцать тысячных»

Третий пример.  IMG_1332 В целой части  158 единиц. Дробная часть содержит 28 десятитысячных частей единицы (принято говорить просто «28 десятитысячных»).   Если мы запишем  эту обыкновенную дробь  в виде десятичной дроби, это будет выглядеть вот так : 158,0028. Читается как «158 целых, двадцать восемь  десятитысячных».

На этом закончим изучение состава десятичной дроби и далее рассмотрим условия и алгоритм перевода обычной дроби в десятичную.