Как «вынести минус»?

Давно ничего не писала и хотела писать совсем о другом, но попросили объяснить быстро алгебраические дроби. Я быстро не могу, вы знаете. Спросила, с чем конкретно помочь. Оказалось, не понимает как «выносить» минус и менять слагаемые в скобках местами. Переодически объясняю детям, но сейчас  ВПР и надо было «ещё вчера». Заодно и сюда решила написать, не знаю  почему, но тема с минусом возникает постоянно.

Диалог выглядел с ребенком так:

—  Здесь можно сократить, правда?

—  Ну… тут знаки разные, надо тогда этот, как его, минус выносить.

—  Давай вынесем.

—  Там сложно.

—  Сложно?

—  Ну … там, короче, надо вынести минус. Берем минус, ставим, и там знаки все меняются в скобках. Но там …это…. Там то минус, то плюс, вообще непонятно от чего зависит. То есть когда просто в скобках плюс, то понятно, ставишь там перед скобками минус и всё, сразу всё меняется. А вот если не плюс, или там просят буквы эти местами поменять.

—  Но здесь понятно? Здесь же  + (a+b).

—  Ну да, здесь легко. Берешь минус, выносишь и ставишь перед скобкой первой и в скобках минус сразу. То есть здесь вот тогда будет — (a — b)

—  Точно будет — (a — b)?

— Да, знак поменяется. Мы поэтому минус и выносим, чтобы он поменялся.

— Он так меняется? Уверен?

— Ну да.

—  А если мы раскроем скобки и проверим? Мы получим снова + (a+b)?

— Не, а зачем проверять? Там точно минус должен быть. Потому что ставишь минус перед скобками, и он меняет знак в скобках сразу.

—  Хорошо. А где ты его берешь?

— Кого?

—  Ты сказал «берем минус и ставим перед скобкой». Минус. Где ты его взял?

— Ну как… из скобок.

— Давай посмотрим на скобки. Где он?

Ребенок озадачено смотрит на скобки.  На + (a + b).

— Не… ну, мы берем минус и ставим перед скобкой, да.

— Это я поняла. А откуда берем? Ты ведь говорил, что мы выносим минус из скобок?

— Из скобок. У нас там получилось — (a — b), видишь. Вот мы этот минус и вынесли.

—  Но ведь этот минус в скобках получился у нас уже после? Когда мы уже поставили минус перед скобками и знаки поменялись. Как же мы могли его вынести? Там был плюс. И если ты заметил, знак у тебя поменялся почему-то только у b

— Почему только у b? Это же их общий знак, он между ними стоит. 

— Понятно. И минус мы берем ниоткуда? Вынули минус из кармана и поставили перед скобкой?

— Нет, он из скобок.

— Но там плюс.

— Ну да… а откуда мы его берем?!!

И на этом мы принялись изучать алгебраическое сложение (см. предыдущий пост). А потом разбирались:  откуда же взялся минус?

-a = (-1) · (+a)

-b = (-1) · (+b)

-a = (+1) · (-a)

-b = (+1) · (-b)

+a = (+1) · (+a)

+b = (+1) · (+b)

+a = (-1) · (-a)

+b = (-1) · (-b)

Вот так мы можем разложить каждое число. Не только а и не только b,  и не только -a и -b, как полагают многие дети. Подставьте на место этих букв любые другие (если вы работаете с буквами). Например, с.

-c = (-1) · (+c)

-c = (+1) · (-c)

+c = (+1) · (+c)

+c = (-1) · (-c)

Подставьте числа (если у вас в выражении не буквы, а числа). Например, 12.

-12 = (-1) · (+12)

-12 = (+1) · (-12)

+12 = (+1) · (+12)

+12 = (-1) · (-12)

Да, вы имеете полное право тяжело вздохнуть и спросить: «И зачем это? Ведь очевидно, что a и b можно заменить на любые числа и буквы». Могу сказать только одно, вы не представляете, скольким детям (иногда и взрослым) это неочевидно и на вопрос: «Как мы можем представить -15? Видишь мы с тобой тут писали пару минут назад, что — а можно представить в виде произведения», тебе отвечают: «Не знаю… ну, то есть я знаю, что мы можем -а представить, но вот -15…даже не знаю. А как представить?»

Давайте начнем с примера, который я написала выше. Предположим, у вас есть выражение a + b, оно заключено в скобки. И перед скобками стоит знак плюс. А вам очень нужно по каким-то причинам, чтобы перед скобками стоял знак минус, а в скобках знаки букв или чисел стали другими. Проще говоря, вам нужно «вынести минус». Как поступим?

Да, я знаю, можно умножить на минус единицу. Но часто после этого как раз и происходит, что + (a + b) превращается в — (a — b).  Знак первого слагаемого «теряется».

Поэтому сделаем так. Возьмем уже упомянутое + (a + b) и поменяем в нем знак (вынесем минус). Для этого мы возьмем каждое из слагаемых (каждое число в скобках) и представим его в виде двух множителей, например:

представим а как (-1) · (-a), ведь два отрицательных числа дадут нам в итоге положительное, верно? Представим b как (-1) · (- b) и посмотрим, что нам с этим делать. Расписывать подробно не буду, в качестве иллюстрации использую «памятки», которые ребенок делал для школы.

Кстати: не забывайте, что плюс перед скобкой — это (+1) и когда мы «выносим» минус (то есть минус единицу — общий множитель), то нам нужно их перемножить. Именно результат этого умножения (+1) · (-1) дает нам знак перед скобкой (см. рисунок ниже).

minus_3

Теперь рассмотрим вариант + (a — b), но мы же помним, что на самом деле в скобках не разность, а алгебраическая сумма  + ((+a) + (- b)). Если не помним, то смотрим ещё раз пост про алгебраическое сложение. Каждое из слагаемых этой суммы мы представим в виде произведения.

(+а) как произведение (-1) и (-а)

(-b) как произведение (-1) и (+b)

minus_4

Теперь рассмотрим вариант — (a + b),  мы помним, что в скобках алгебраическая сумма — ((+a) + (+ b)).  Каждое из слагаемых этой суммы мы представим в виде произведения.

(+а) как произведение (- 1) и (- а)

(+b) как произведение (-1) и (- b)

minus-5

И еще один вариант — (a — b),  мы помним, что в скобках алгебраическая сумма — ((+a) + (- b)).  Каждое из слагаемых этой суммы мы представим в виде произведения.

(+а) как произведение (- 1) и (- а)

(- b) как произведение (-1) и (+ b)

minus_1

Возможно этот способ подойдет не всем, ну, что могу сказать, есть много других. Он кажется немного сложным, но после небольшой практики, все эти действия (разложение чисел) можно легко выполнять в уме. Главное, понять суть.

 

 

 

 

Алгебраическая сумма и разность (для родителей)

для Ирины

«И какой тут знак тогда?» — возмущенно сказал один из моих учеников, когда уже после урока английского, у нас зашла речь о его домашнем задании по математике. Он собирал свой комплект Starlight, и неожиданно выпала тетрадь по математике. «Ещё математика же!» — яростно воскликнул ребенок, который как раз описывал мне, сколько ему на сегодня и на завтра задали (чтобы избежать диктанта на следующем уроке, я так подозреваю). «А что математика?» — спросила я. «Ну вот же!» — он раскрыл тетрадь и ткнул пальцем в задание. «Приведите подобные слагаемые. Я вообще не понимаю, реально. Я сложил, учительница говорит, нет, здесь минус должен быть, а сама говорит, что подобные слагаемые складываются. Я её спрашиваю, они складываются? Да, говорит, всё правильно, складываются, поэтому здесь будет минус. Ничего не понял. Вот здесь пример. И какой тут знак тогда?» Продолжить чтение «Алгебраическая сумма и разность (для родителей)»

Умножение многочлена на многочлен. «Гармошка». (для родителей).

Из рубрики «ученику на заметку» (чуть не написала «хозяйке на заметку» по привычке).  Чтобы не путаться со знаками при умножении многочлена на многочлен. Нет, про метод умножения «фонтанчиком» я знаю, то, что я напишу ниже, это практически то же самое. Только без стрелок, в которых можно запутаться.

Итак, вам нужно умножить многочлен на многочлен.

Берем листок бумаги в клетку, обычный, из тетрадки. И карандаш. Или ручку. Или гусиное перо. На ваш выбор 🙂

Листок складываем «гармошкой», в детстве мы так делали вееры, если кто-то помнит. Если никто не помнит, то картинка «гармошки» будет чуть ниже.

Когда мы умножаем многочлен на многочлен, нам нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена. Вот смотрите.

Умножение происходит так. Мы берем первый член многочлена, который заключен в первых скобках (первый член первого многочлена). Это 2a²bc. Мы должны умножить его на первый, второй и третий члены многочлена, который заключен во вторых скобках (первый, второй и третий члены второго многочлена).  Последовательно.

_10

Выписываем + 2a²bc на «гармошку». Почему со знаком, мы ведь обычно не пишем «плюс»? Чтобы не запутаться со знаком одночлена, который получится в результате умножения.

Продолжить чтение «Умножение многочлена на многочлен. «Гармошка». (для родителей).»

Неравенство треугольника (для родителей)

Для Лены.

Сначала то, что нужно срочно. Показать что длина одной стороны треугольника будет меньше, чем сумма двух других сторон, можно просто при помощи полосок бумаги (разрежь листок в клетку). Берешь задачник по геометрии и нарезаешь полоски такого размера, как там указано (можешь составить примеры сама).  У меня в крупную клетку, другого листа нет сейчас под рукой. Но суть не изменится, можно взять палочки деревянные, пластиковые трубочки для напитков, что есть под рукой.

Например, у тебя длина одной стороны равна 13 см, а длины двух других — шесть и четыре сантиметра.

Пусть попытается составить из них треугольник и убедится, что составить треугольник невозможно. Концы отрезков (сторон) просто не «сойдутся», не дотянутся друг до друга. Но это что касается демонстрации.

WhatsApp Image 2

Теперь про объяснение. Расстояние я обозначаю при помощи ||, потому что так оно обозначается в нашем учебнике и так привычнее. Можно писать просто AC, АВ и так далее (в большинстве учебников именно так). Продолжить чтение «Неравенство треугольника (для родителей)»

Обыкновенные дроби. Делаем игровое поле и тренируемся.

Найдено все в той же старой тетрадке. Но оригинал в очень непрезентабельном состоянии, поэтому нарисовала часть поля заново, чтобы был понятен принцип. Остальное — на ваше усмотрение.

с дробями

Для чего это упражнение (дети упорно называли его игрой)?

Сразу хочу заметить, что это упражнение для тех, кто уже знает, что дробь может изображаться по-разному. То есть дробь — это не только числитель и знаменатель, разделенные дробной чертой и числитель написан над знаменателем.  Если у нас в квадрате, разделенном на 4 части, одна часть закрашена, то какая это дробь, ребенок выбирает сам — это может быть и одна четвертая (если мы берем закрашенный квадратик) или три четвертых (если мы берем незакрашенные квадратики). И так далее. Размер поля и сложность задач зависит от того, какими знаниями по дробям ребенок располагает, ну, и от вашего желания, конечно. У нас было большое, я брала задачник и разрисовывала примеры и задачи, изображая дроби разными способами.

Правила упражнения (игры)

Для игры нам понадобятся два кубика (на фото один, но нужно два и лучше разноцветные). У нас, например, один желтый, второй — фиолетовый, уже не помню от какой то старой игры остались, а с ними фишки. Продолжить чтение «Обыкновенные дроби. Делаем игровое поле и тренируемся.»

Системы счисления_1. Десятичная система.

Обсуждаем здесь.

Десятичную систему счисления мы все изучаем с детства, она нам привычна и понятна. Вопросы возникают, когда нам нужно перевести число, написанное в десятичной системе счисления, в систему с другим основанием. Меня недавно спросили как я объясняла этот перевод единиц детям, эту тему они проходили в рамках курса информатики.

Объясняла так. Прежде всего, мы рассмотрели, что такое основание системы счисления. Основаниеэто количество значков (цифр или букв), которое мы используем, чтобы записывать числа.

Например, сколько значков (цифр или букв) мы используем в десятичной системе? 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Посчитали? Да, 10 цифр. Основание десятичной системы счисления равно 10.

В двоичной системе счисления? 0 и 1. Два значка (цифры). Основание двоичной системы равно 2.

В шестнадцатиричной? 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. A будет обозначать число 10, B — число 11, C — число 12, D — число 13, E — число 14, F — число 15. Всего значков (цифр и букв) у нас 16 (не забыли про нуль). Основание шестнадцатиричной системы равно 16.

Принцип, я думаю, понятен. Теперь нужно понять, как мы будем использовать эти значки.

Давайте вернемся к десятичной системе, как наиболее понятной. Как мы используем значки этой системы? У нас их 10 штук: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Как же мы используем их, чтобы записать числа? Просто написание этих значков не имеет смысла. Нам нужна система разрядов. И она у нас есть. Мы начинаем её изучение в начальной школе.

Отступление для родителей.

Собственно весь пост написан для родителей, у которых дети учатся дома. Так как школьные учителя всё это знают. Итак, для родителей. Объяснения, которые я здесь пишу, не для детей, а для вас, потому что как это ни странно, но многие взрослые после школы, забывают систему разрядов (вы не забыли? тогда дальше можно не читать). Для взрослых она становится настолько естественной, что большинство искренне не понимает, что тут непонятно родному чаду и что тут вообще объяснять? (да, я тоже плохо помню себя во втором классе). Все, что так очевидно вам, не всегда очевидно ребенку, хотя в школе терпеливо проходят разряды десятичной системы, один за другим. Ребенок может учиться дома, а не в школе, он мог пропустить по болезни, прослушать, ему могла не подойти форма объяснения, ваша задача — помочь. Но если по каким-то причинам ребенок не освоил разряды той системы, которая считается для нас естественной, если он не осознает, что он делает, когда складывает, вычитает, умножает и делит, если для него при делении цифры, которые он делит — это не сотни тысяч, десятки тысяч и так далее, а «делим первую циферку», то объяснить ему остальные системы счисления и много всего другого будет непросто. Если есть проблемы, попробуйте объяснить на счетных палочках или спичках или на рисунке, я напишу позже или можете посмотреть здесь пример со стаканчиками и скитлс. Я имею в виду маленькие разряды, конечно. Большие, с огромным количеством единиц, объясняем по аналогии. Что касается написанных здесь объяснений, то вам только кажется, что вы путаетесь в нагромождениях единиц, десятков единиц и прочих. Возьмите листок бумаги и карандаш. Начертите разрядную таблицу и попробуйте так же разобрать любое число. Только звучит громоздко, на практике все проще.

Сейчас рассматриваем только натуральные числа. Нарисуем таблицу. Или используем специальную заготовку (разрядную рамку), её можно положить на любой лист и писать. Делается очень просто — один раз рисуете разрядную таблицу на листочке в клеточку, по желанию раскрашиваете и наклеиваете на картон. У нас была вот такая (на листочке в клеточку, потому что удобно класть на тетрадный лист).

IMG_1955

Разберем на конкретном примере. У нас есть число 55 342. Разберем это число по разрядам. Смотрим разряды справа налево (⇐), ведь именно так мы проходим их в школе (постепенно), хотя сами числа пишем слева направо (⇒).

Продолжить чтение «Системы счисления_1. Десятичная система.»

Действительные числа

«Строили мы, строили и наконец построили», — как сказал когда-то Чебурашка. Ребенок доделал свою памятку по действительным числам. Осталось еще кое-что вписать в «раскладушки».

«Окошко» под «раскладушкой» обычно оставляем пустым (вдруг захочется еще что-то добавить).

_действительные числа_1

_действительные числа_4

_действительные числа_3

_действительные числа_2

Координатная плоскость. Для запоминания.

Рисовали, чтобы запомнить понятия для координатной плоскости. Так что это для запоминания. Для объяснения лучше всего подходит асфальт. Понадобится кусок мела (если есть несколько цветов, то ещё лучше), желание рисовать и плоская жестяная банка (у нас была от крема «Нивея» (давно это было, ещё в четвертом классе).

Мел для того, чтобы нарисовать оси и разметить точки, а банка для того, чтобы играть  (подобие игры «классики»), прыгая с одной точки на другую. Фото нет, да оно и не нужно. Для такого объяснения нужна только хорошая погода.

А для запоминания делали вот это.

Рисунок 1.

плоскость_3

Рисунок 2.

плоскость_1

Рисунок 3 (общий план).

плоскость_2

Длина окружности. Увеличим радиус, что будет?

Решали задачу. Попросили выложить. Выкладываю.

Итак, условие задачи: Как изменится длина окружности, если её радиус увеличить в 3 раза?

Решение (на рисунке оно тоже есть, выложу в конце).

С = 2πR = πd

C (новая окружность с увеличенным радиусом) = 2 • π • 3R = π • 6R = π • 3d = 3πd (следовательно длина окружности увеличится в 3 раза)

И поэтапно.

Жила была окружность. Самая обычная.

IMG_1851

Измерим её длину. Не в цифрах, просто, чтобы у нас было на чем показывать решение (значения вы потом можете подставить любые). Можно измерить ниткой или бумажной лентой, как мы делали здесь. Для разнообразия возьмем «шнурок» из пластилина.

IMG_1852

Вот она — длина окружности.

IMG_1853

«Разрежем» нашу окружность.

IMG_1854

И как мы уже делали вот в этом посте, разделим ее длину на три диаметра и небольшой «хвостик». Мы же знаем, что в длину окружности диаметр умещается примерно 3,14 раза (число π), то есть в длину любой окружности умещаются примерно три диаметра этой же окружности и еще примерно 14 сотых диаметра это же окружности. На самом деле больше 14 сотых. Ведь есть еще тысячные, десятитысячные и продолжать это дробление можно бесконечно, мы же помним, что π — иррациональное число. Но обычно мы округляем его до 3,14 (округляем до сотых). Поэтому  и можем сказать, что умещается примерно 3 диаметра и 14 сотых частей диаметра.

IMG_1857

Разделили.

IMG_1858

Мы же помним, что диаметр равен двум радиусам? А ведь увеличивать нам придется именно радиус. Как нам его получить? Разделим диаметр на две равные части.

IMG_1864

Разделили.

IMG_1865

Продолжить чтение «Длина окружности. Увеличим радиус, что будет?»

Число π. Как показать?

Думаю, этот прием известен многим со школьных времен. Но всё же напомню.

Итак, число π. Как мы знаем, число π представляет собой отношение окружности к диаметру. То есть

IMG_1811

Мы можем написать это и по-другому:

IMG_1812

Что мы узнаём при делении? Мы узнаём, сколько раз делитель (число, на которое мы делим) умещается в делимом (в числе, которое мы делим). Или во сколько раз делимое больше делителя и во сколько раз делитель меньше делимого.

Это означает, что мы узнаем, сколько раз диаметр укладывается в длину окружности.

Или можно сказать: мы узнаем, во сколько раз длина окружности больше диаметра.

IMG_1814

То есть длина любой окружности будет примерно в 3,14 раза больше, чем диаметр этой окружности. А диаметр окружности будет примерно в 3,14 раза меньше, чем длина этой же окружности.

Теперь посмотрим, как это выглядит.

Для этого нам понадобятся:

1) круглая крышка ( у меня от контейнера с ватными палочками, такие есть в любом доме). Важно, чтобы крышка не сужалась и не расширялась. Подойдет и любой другой предмет, который мы можем принять за круг.

2) полоска бумаги, достаточно длинная, чтобы можно было обернуть крышку.

3) ножницы, карандаш, линейка.

IMG_1793

Продолжить чтение «Число π. Как показать?»