Десятичная дробь. Часть 10. Деление и умножение положительной десятичной дроби на 10, 100, 1000 и так далее.

Суть проста. Так как десятичная дробь записывается в десятичной разрядной системе, то:

Когда мы умножаем наше число наше число на 10, мы увеличиваем его на 1 разряд, ведь оно становится в 10 раз больше (мы же помним, что все разряды — это степени числа 10).

Когда мы делим наше число наше число на 10, мы уменьшаем его на 1 разряд, ведь оно становится в 10 раз меньше.

на 10 100 итд

 

Десятичная дробь. Часть 9. Деление десятичной положительной дроби на натуральное число.

Алгоритм деления немного сложнее, чем алгоритм умножения. Здесь главное не запутаться с запятой. Главное, что следует помнить, что мы складываем, вычитаем, умножаем и делим по разрядам. В прошлом посте про умножение  не стала это писать, так как это, на мой взгляд, и так понятно.

Например, нам нужно разделить 243,2 на 8.

Что это значит на деле? Что мы вообще делаем при делении? Мы делим числа на определенное количество частей (это касается не только дробных чисел, но и натуральных). И мы разряд за разрядом делим на это количество частей (помним, что количество частей — это делитель, да?).  Сначала делим разряды целой части, а когда они закончатся, ставим запятую (границу между целой и дробной частями) и делим разряды дробной части.

Взяли сотни, попытались разделить, не делится, перешли в меньший разряд и вот у вас уже не две сотни, например, а две сотни и четыре десятка или 24 десятка (Мы ведь понимаем, что 240 единиц = 24 десяткам = 2 сотням 4 десяткам, правда ведь? Мы все-таки столько лет изучали это в начальной школе. Это одно и тоже количество единиц, просто оно выражено в разных разрядах). И если две сотни разделить на 8 неудобно, то 24 десятка разделятся просто. На этом и построен принцип «деления в столбик». Если после всего сказанного, вам все равно кажется, что вы читаете китайскую грамоту, то смотрим на рисунок.

десятичной дроби на натуральное число_1Хотелось бы добавить:

Примечание:
Если в частном (в ответе)  в результате деления у нас будут нули в конце дробной части (в последних разрядах дробной части), то мы можем просто отбросить их. (надеюсь, это вы уже запомнили).

Все вопросы, которые возникают при делении, я предусмотреть не смогу, наверное. Но часто возникает вопрос при делении, если в целой части нуль единиц. Рассмотрим пример:

на натуральное число_2

Хочу сказать еще одну важную вещь, о которой часто забывают. Может быть, вы и не забываете, тогда просто пропустите эту часть. Иногда возникает вопрос, что делать, если разрядов не хватает?

Нужно помнить, что любое число, это не просто цифры, которые висят в воздухе. Если посмотреть с точки зрения геометрии, число — это прямая, уходящая в обе стороны в бесконечность. Предположим, есть у вас число 25, 2. Какие здесь обозначены разряды? Разряды десятков и единиц в целой части и разряд десятых в дробной части. Но это не значит, что других разрядов не существует. Они существуют, просто в них нуль единиц. И поэтому эти разряды мы договариваемся не писать. Это как раз и есть то самое «откидывание нулей». Посмотрите на рисунке.

десятичной дроби на натуральное число_2

Что мы видим на рисунке? Мы видим, что в дроби 25,2  у нас есть два десятка единиц, 5 единиц и 2 десятых единицы. Это разряды, которые для нас видимы. Но еще в этом числе нуль сотен, нуль тысяч, нуль десятков тысяч и так далее ( в целой части) и нуль сотых, нуль тысячных и так далее ( в дробной части). Всех «невидимых» разрядов не перечислишь, они уходят в бесконечность. Мы просто не пишем их («откидываем нули«), в их написании нет смысла. До определенного момента. И вот когда у нас не хватает разрядов для деления, мы можем сказать, что момент настал. Настал момент, чтобы сделать «видимыми» столько разрядов (столько нулей), сколько нам нужно для деления (говоря по-человечески, мы можем дописать столько нулей), сколько нам нужно.

Лирическое отступление: Если снова провести аналогию с геометрией, то когда вы ставите точку на бумаге, она ведь лежит на прямой, верно? И кроме нее на прямой еще есть огромное количество точек (прямая бесконечна). Но вы выделили только одну, обозначив её карандашом на бумаге. Если вам нужно выделить больше точек, вы ставите еще одну точку (выделяете её среди огромного количества других) и проводите отрезок, а отрезок это ведь тоже  какое-то количество точек, которые вы сделали видимыми.

Давайте посмотрим, как дописывание нулей применяют на практике.

десятичной дроби на натуральное число_4

Определение из учебника (учебник С. М. Никольского, 6 класс).из учебника

 

Деление десятичной дроби на натуральное число выполняется так же, как и деление натуральных чисел, но после окончания деления целой части десятичной дроби надо в частном поставить запятую.

 

 

 

 

 

 

 

Десятичная дробь. Часть 8. Умножение положительных десятичных дробей.

Теперь давайте разберемся с умножением. Алгоритм действий в этом случае простой. Рассмотрим его на примере.

Перемножим десятичные дроби 42,6 и 3, 521.

дробей_1

Главное отличие от сложения и вычитания, о котором мы должны помнить: здесь не нужно следить, чтобы запятые дробей располагались друг под другом. Мы можем писать дроби как нам удобно и перемножать их так как мы раньше перемножали натуральные числа (не обращая внимания на запятую).

 

Как же нам тогда понять, где ставить запятую в ответе (где будет проходить граница целой и дробной частей?

См. рисунок 1

дробей_2

Примечание:
Если в произведении (в ответе)  в результате умножения у нас будут нули в конце дробной части (в последних разрядах дробной части), то мы можем просто отбросить их.

Теперь когда мы сформулировали алгоритм, давайте разберемся, почему так происходит. В одной дроби мы так уверенно взяли три разряда, в другой — один, и сложили их, не задумываясь откуда это берется.

Все несложно.

Представим эти же дроби в виде обыкновенных, а не десятичных дробей. И проверим, сколько получается.

См. рисунок 2дробей_3

Определение из учебника (учебник С. М. Никольского, 6 класс).из учебника

 

Чтобы перемножить две десятичные дроби, достаточно перемножить их как натуральные числа, не обращая внимания на запятые, а в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр, сколько их было после запятых в обоих множителях вместе.

 

Десятичная дробь. Часть 7. Вычитание положительных десятичных дробей.

После того, как мы рассмотрели сложение положительных десятичных дробей, добавить можно только одно: десятичные дроби вычитается по похожему  алгоритму.

Рассмотрим на конкретном примере. Допустим, нам надо вычесть из десятичной дроби 19,32 десятичную дробь 6,418.

1. Уравняем количество знаков (разрядов) после запятой.

2. Вычитаем, как если бы у нас не было запятой, как будто мы вычитаем одно целое число из другого. В ответе запятую ставим по линии границы между целой и дробной частями, то есть запятая в разности (в ответе) должна стоять строго под запятыми уменьшаемого (той дроби, из которой мы вычитаем) и вычитаемого (той дроби, которую мы вычитаем).

(см. рисунок).

десятичных дробей

Примечание:

нули_вычитаниеЕсли в разности (в ответе)  в результате вычитания у нас будут нули в конце дробной части (в последних разрядах дробной части), то мы можем просто отбросить их.

Десятичная дробь. Часть 6. Сложение положительных десятичных дробей.

После того, как мы научились сравнивать десятичные дроби по разрядам, научиться складывать и вычитать десятичные дроби будет несложно. Ведь это тоже делается по разрядам. Опять напоминаю, пока мы говорим только о положительных десятичных дробях, об их сложении и вычитании.

Что нам нужно, чтобы разряды не «сместились»? Правильно, нам нужно, чтобы запятые находились одна под другой.

Так же как и при сравнении десятичных дробей, нужно уравнять количество разрядов, то есть сделать так, чтобы у обеих дробей после запятой было одинаковое количество знаков.

Сложение десятичных дробей

 Рассмотрим на конкретном примере. Нам нужно сложить две десятичные дроби: 0,678 и 13,7.

1. Уравняем количество знаков (разрядов) после запятой.

2. Складываем, как если бы у нас не было запятой, как будто мы складываем целые числа. В сумме (в ответе) запятую ставим по линии границы между целой и дробной частями, то есть запятая должна стоять строго под запятыми двух дробей, которые мы складывали (см. рисунок).

десятичных дробей

Примечание:

нули_сложение
Если в сумме (в ответе)  в результате сложения у нас будут нули в конце дробной части (в последних разрядах дробной части), то мы можем просто отбросить их.

 

 

Десятичная дробь. Часть 5. Сравнение положительных десятичных дробей.

.jpg

 

Удобно сравнивать положительные десятичные дроби с одинаковым количеством разрядов (знаков) после  запятой.

Поэтому сначала уравниваем количество знаков после запятой ( то есть в дробной части), а уже потом начинаем сравнивать. Еще раз напоминаю, что пока мы говорим только о положительных десятичных дробях.

Уравниваем количество знаков после запятой:

Допустим, нам даны две десятичные дроби: 39,7 и 39,719

десятичных дробей_2

Сколько знаков после запятой не хватает у дроби 39,7? Двух знаков, мы обозначили их точками. Если этих знаков нет, это означает что эти разряды (сотые и тысячные) пусты. Впишем туда нули, чтобы показать, что разряды пусты и в них нет единиц. И тем самым уравняем количество знаков после запятой.

десятичных дробей_3

Теперь количество знаков после запятой (в дробной части) одинаково и можно приступать к сравнению.

 

 

Сравниваем десятичные дроби:

Дроби нужно сравнивать поразрядно, то есть сравнивать один разряд за другим. Сначала сравниваем разряды целой части, затем разряды дробной части.

Проще сравнивать, если дроби записаны одна под другой. При этом нужно следить, чтобы запятые «совпали» (то есть запятые двух дробей находились одна под другой). Ведь запятая — это граница целой и дробной частей. Если будут стоять по-разному, то и разряды будут сдвигаться. Нельзя нарушать границу.

десятичных дробей_разряды

Сейчас, когда в наших двух дробях одинаковое количество знаков (разрядов) после запятой, мы можем начать их сравнивать. Поразрядно (то есть по разрядам).

 

 

 

десятичных дробей_разрядыСначала сравним разряды целой части. Их у нас два — десятки и единицы. Сравнили десятки. В обеих дробях по три десятка. Сравнили единицы. В обеих дробях по девять единиц. Какой делаем вывод? Целые части этих двух дробей равны. Значит, пока мы не можем сказать какая дробь больше.

Но если бы у одной их этих дробей целая часть оказалась бы больше, чем у другой, то на этом сравнение можно было бы и закончить. И так понятно, что больше будет та дробь, у которой целая часть больше.

десятичных дробей_сравниваем десятые

А мы продолжаем сравнивать. Разряды целой части сравнили, принимаемся за разряды дробной части. Сначала сравним десятые. Сколько у нас десятых в первой дроби? Семь. А во второй? Семь. Значит, пока мы не можем сказать, какая дробь больше.

Если бы у одной из дробей было бы больше десятых в дробной части, то мы могли бы завершить на этом наше сравнение. Больше была бы та дробь, у которой больше десятых (при том, что целые части у них равны, так как 39=39).

десятичных дробей_сравниваем сотыеИтак, целые части у нас равны, десятые в дробной части равны. Проверим сколько у нас сотых в дробной части. В одной дроби у нас нуль сотых, во второй — одна сотая. 1>0, как известно. Следовательно, больше будет та дробь, в которой больше сотых, ведь предыдущие разряды равны. На этом мы можем прекратить сравнение и сделать вывод, что дробь 39,719 > дроби 39,7. Обратите внимание, что нули после сравнения, можно отбросить. Их сохраняют только в случае, когда нужно подчеркнуть точность (например, когда мы что-то измеряем).

Но в случае, если бы у нас и сотые оказались равны, мы бы сравнивали  тысячные, десятитысячные и далее поразрядно.

Примеры выложу ниже.

Определения из учебника, вдруг понадобятся (учебник С. М. Никольского, 6 класс).из учебника

 

В дробной части десятичной дроби можно приписать справа нули — получится дробь равная данной.

Если в дробной части десятичной дроби имеются справа нули, то их можно отбросить — получится дробь равная данной.

Из двух десятичных положительных дробей больше та, у которой целая часть больше; при равенстве целых частей больше та дробь, у которой цифра разряда десятых больше; при равенстве целых частей и цифр разряда десятых больше та дробь, у которой цифра разряда сотых больше и так далее.

Пример_1

десятичных дробей_пример1

Пример_2

десятичных дробей_пример2

Пример_3

десятичных дробей_пример 3

 

Десятичная дробь. Часть 4. Как записывается десятичная дробь.

Итак, в части третьей мы рассмотрели, как мы можем превратить обычную дробь в дробь, знаменатель которой равен 10, 100, 1000 и так далее.

действий

1. Возьмем дробь

$$ 43\frac{14}{1000} $$

2. Смотрим сколько разрядов у нас в целой части. У нас 4 десятка и 3 единицы. То есть в целой части у нас два разряда. Запишем:

43

3. Ставим запятую. Это граница, отделяющая целую часть от дробной. Запись целой части окончена.

43,

4. Начинаем записывать дробную часть. Посмотрим на знаменатель нашей дроби. Сколько в нем нулей? Три. Ставим после запятой три точки. Это разряды, которые мы должны заполнить.

43, • • •

5. Начинаем заполнять разряды. Мы должны вписать сюда наш числитель, число 14. Заполняем справа налево (⇐). То есть последнюю цифру числителя — цифру 4, пишем в последний разряд.

43, • • 4

6. Продолжаем заполнять справа налево(⇐). То есть следующую цифру числителя — цифру 1, пишем в разряд, который находится перед цифрой 4.

43, • 1 4

6. Сейчас у нас остался один незаполненный разряд. Но цифр в числителе больше нет. Значит, и единиц в этом разряде не будет. Что мы пишем, чтобы показать что в разряде нет единиц? Нуль. Вот его и напишем вместо последней точки.

43, 0 1 4

Итак, мы записали дробь $$ 43\frac{14}{1000} $$

в виде десятичной дроби

43, 014

десятичной дроби

 

Десятичная дробь. Часть 1. Разряды целой и дробной частей.

Прежде чем писать о свойствах десятичных дробей и правилах, по которым они работают, нужно дать им определение.
Десятичные дроби — это особая запись обыкновенных дробей, у которых знаменатель равен 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000 и так далее.

Если вы приступили к изучению десятичных дробей, значит вы уже освоили обыкновенные. Поэтому главное, что следует запомнить, что десятичные дроби — это не новый вид дробей, а просто новый способ записать такие обыкновенные дроби, у которых знаменатель — это степень числа 10 (потому что 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000 — это степени числа 10).

Разряды целой части десятичной дроби

Давайте вспомним разряды десятичной системы:

Разряд единиц (1) – это 100, мы же помним, что любое число в нулевой степени – это единица, да? Следовательно, 100 = 1. Этот разряд показывает сколько единиц содержит целая часть нашей десятичной дроби.

Разряд десятков (10) – это 101, да-да, любое число в 1 степени – это и есть само это число. Следовательно, 101 = 10. Этот разряд показывает сколько десятков содержит целая часть нашей десятичной дроби.

Разряд сотен (100) – это 102, возведем 10 во вторую степень (10•10 = 100) и получим 102 = 100. Этот разряд показывает сколько сотен содержит целая часть нашей десятичной дроби.

Разряд тысяч (1000) – это 103, возведем 10 в третью степень (10•10 •10 = 1000) и получим  103 = 1000.Этот разряд показывает сколько тысяч содержит целая часть нашей десятичной дроби.

Разряд десятков тысяч (10 000) – это 104, возведем 10 в четвертую степень (10•10 •10 •10 = 10 000) и получим  104 = 10 000. Этот разряд показывает сколько десятков тысяч содержит целая часть нашей десятичной дроби.

Разряд сотен тысяч (100 000) – это 105, возведем 10 в пятую степень (10•10 •10 •10 •10 = 100 000) и получим  105 = 100 000. Этот разряд показывает сколько сотен тысяч содержит целая часть нашей десятичной дроби.

И так далее. Все разряды мы рассматривать не будем. Но чем дальше мы будем продвигаться влево (<—), тем больше единиц будет содержать целая часть десятичной дроби. Чем ближе к запятой, тем меньше разряд целой части. Наименьший разряд — единицы.

Почему десятичная система называется десятичной? Потому что её разряды — это степени числа 10.

Теперь давайте повторим, как устроена десятичная дробь (сейчас мы будем говорить только о положительных десятичных дробях, то есть о дробях со знаком плюс). Как раз для этого нам понадобятся разряды, которые мы сейчас вспомнили.

Как вы уже поняли, десятичная дробь делится на две части: первая часть называется целой, далее мы ставим запятую, и пишем дробную часть.

Десятичная дробь и ее части

О разрядах целой части мы только что поговорили. Но и дробная часть имеет разряды.

Чем они отличаются от разрядов целой части? Разряды целой части говорят нам сколько целых единиц или десятков или сотен и так далее содержит наша десятичная дробь.

Возьмем наш первый пример (см рисунок). Сколько в числе целых единиц? Две.

Во втором примере? Там вообще нет целых единиц. Именно поэтому мы написали в целой части нуль единиц.

В третьем примере? 158 единиц или 1 сотню, 5 десятков и 8 единиц содержит наша целая часть.

Разряды дробной части

Теперь посмотрим на разряды дробной части. Их названия похожи на разряды целой части. В целой части — разряд десятков, в дробной части — разряд десятых. В целой части — разряд сотен, в дробной — разряд сотых. И так далее.

Какие бы разряды мы не взялись рассматривать в дробной части, все они будут меньше единицы. Ведь что нам показывает дробная часть? Она показывает, сколько частей и каких частей содержит наше число. Если в целой части мы говорили о том, что наши разряды — это степени числа 10, то здесь, в дробной части, разряды — это степени числа 0,1.

Разряд десятых (0,1) — показывает сколько десятых частей единицы содержит дробная часть нашего числа. Это 0,11, а так как число в первой степени — это и есть само это число, то и разряд у нас называется десятые.

Разряд сотых (0,01) — показывает сколько сотых частей единицы содержит дробная часть нашего числа. Это 0,12, возведем 0,1 во вторую степень (0,1 • 0,1 = 0,01) и получим одну сотую, поэтому разряд у нас называется сотые.

Разряд тысячных (0,001) — показывает сколько тысячных частей единицы содержит дробная часть нашего числа. Это 0,13, возведем 0,1 во третью степень (0,1 • 0,1 • 0,1= 0,001) и получим одну тысячную, поэтому разряд у нас называется тысячные.

Разряд десятитысячных (0,0001) — показывает сколько десятитысячных частей единицы содержит дробная часть нашего числа. Это 0,14, возведем 0,1 во четвертую степень (0,1 • 0,1 • 0,1 • 0,1= 0,0001) и получим одну десятитысячную, поэтому разряд у нас называется десятитысячные.

Разряд стотысячных (0,00001) — показывает сколько стотысячных частей единицы содержит дробная часть нашего числа. Это 0,15, возведем 0,1 во пятую степень (0,1 • 0,1 • 0,1 • 0,1 • 0,1= 0,00001) и получим одну стотысячную, поэтому разряд у нас называется стотысячные.

И так далее. Все разряды мы рассматривать не будем. Но чем дальше мы будем продвигаться вправо (—>), тем меньше будут становиться части, на которые делится единица. Чем ближе к запятой, тем крупнее части, на которые разбита единица. Самые крупные части — разряд десятых.

Рассмотрим ещё раз на примерах и на сегодня закончим.

Первый пример.IMG_1330 3 Как мы уже сказали, в целой части здесь 2 единицы. В дробной части — пять десятых частей единицы (принято говорить просто «пять десятых»). Если мы запишем  обыкновенную дробь  в виде десятичной дроби, это будет выглядеть вот так : 2,5. Читается как «две целых, пять десятых» (то есть две целых единицы и пять десятых частей единицы)

Второй примерIMG_1331 Здесь целой части нет, поэтому в целой части мы пишем нуль единиц. Дробная часть содержит 18 тысячных частей единицы (принято говорить просто «18 тысячных»).Если мы запишем  эту обыкновенную дробь  в виде десятичной дроби, это будет выглядеть вот так : 0,018. Читается как «нуль целых, восемнадцать тысячных»

Третий пример.  IMG_1332 В целой части  158 единиц. Дробная часть содержит 28 десятитысячных частей единицы (принято говорить просто «28 десятитысячных»).   Если мы запишем  эту обыкновенную дробь  в виде десятичной дроби, это будет выглядеть вот так : 158,0028. Читается как «158 целых, двадцать восемь  десятитысячных».

На этом закончим изучение состава десятичной дроби и далее рассмотрим условия и алгоритм перевода обычной дроби в десятичную.