Десятичная система_небольшое дополнение для самых маленьких

Небольшое дополнение к предыдущему посту. Эти остатки «былой красоты» обнаружила в старой тетради, в которой писала планирование, когда только начинали изучать разряды. Плаката целиком у меня уже нет, да и фотографировать его целиком не было бы смысла, слишко мелко, здесь только  часть, остальное легко восстановить и дорисовать.

IMG_1967

Думаю, идея понятна. Дальше идет домик десятков и показаны фигурки из «столбиков» — десятков (до 90). Далее по тропинке уходит сотня — в домик «сотен». Там было довольно большое полотно (8 листов А4 в клетку, кажется). Когда дети пошли в школу, мы купили домой белую металлическую доску (ту на которой пишут маркерами), чтобы было удобнее объяснять. И вот мы крепили это «полотнище» на доску магнитами и всячески его украшали. Например, нарисовали 9 деревьев, наклеили рисунки на картон, вырезали и каждую картинку снабдили маленьким кусочком магнитной бумаги (тогда она продавалась только листами, а сейчас она в небольших рулонах, как скотч, и стоит намного дешевле). И «высадили» возле дома «единиц» (благодаря магнитам просто прикрепили к общей картинке). Группы по 10 деревьев «высаживали» возле дома «десятков» и так далее (около дома «сотен» высаживали  цветы, если правильно помню). Сейчас все это уже отдала в школу подруге, с тех пор уже много комплектов деревьев и цветов поменялось. А первые картинки так и остались у меня в тетради.

Рисовали и раскрашивали в основном дети. Хотя нет, вру, глаза у «десятков» я рисовала, кажется. Перефразируя Аркадия Райкина, к глазам претензии есть? Нет? Если что, пишите 🙂

Системы счисления_1. Десятичная система.

Обсуждаем здесь.

Десятичную систему счисления мы все изучаем с детства, она нам привычна и понятна. Вопросы возникают, когда нам нужно перевести число, написанное в десятичной системе счисления, в систему с другим основанием. Меня недавно спросили как я объясняла этот перевод единиц детям, эту тему они проходили в рамках курса информатики.

Объясняла так. Прежде всего, мы рассмотрели, что такое основание системы счисления. Основаниеэто количество значков (цифр или букв), которое мы используем, чтобы записывать числа.

Например, сколько значков (цифр или букв) мы используем в десятичной системе? 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Посчитали? Да, 10 цифр. Основание десятичной системы счисления равно 10.

В двоичной системе счисления? 0 и 1. Два значка (цифры). Основание двоичной системы равно 2.

В шестнадцатиричной? 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. A будет обозначать число 10, B — число 11, C — число 12, D — число 13, E — число 14, F — число 15. Всего значков (цифр и букв) у нас 16 (не забыли про нуль). Основание шестнадцатиричной системы равно 16.

Принцип, я думаю, понятен. Теперь нужно понять, как мы будем использовать эти значки.

Давайте вернемся к десятичной системе, как наиболее понятной. Как мы используем значки этой системы? У нас их 10 штук: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Как же мы используем их, чтобы записать числа? Просто написание этих значков не имеет смысла. Нам нужна система разрядов. И она у нас есть. Мы начинаем её изучение в начальной школе.

Отступление для родителей.

Собственно весь пост написан для родителей, у которых дети учатся дома. Так как школьные учителя всё это знают. Итак, для родителей. Объяснения, которые я здесь пишу, не для детей, а для вас, потому что как это ни странно, но многие взрослые после школы, забывают систему разрядов (вы не забыли? тогда дальше можно не читать). Для взрослых она становится настолько естественной, что большинство искренне не понимает, что тут непонятно родному чаду и что тут вообще объяснять? (да, я тоже плохо помню себя во втором классе). Все, что так очевидно вам, не всегда очевидно ребенку, хотя в школе терпеливо проходят разряды десятичной системы, один за другим. Ребенок может учиться дома, а не в школе, он мог пропустить по болезни, прослушать, ему могла не подойти форма объяснения, ваша задача — помочь. Но если по каким-то причинам ребенок не освоил разряды той системы, которая считается для нас естественной, если он не осознает, что он делает, когда складывает, вычитает, умножает и делит, если для него при делении цифры, которые он делит — это не сотни тысяч, десятки тысяч и так далее, а «делим первую циферку», то объяснить ему остальные системы счисления и много всего другого будет непросто. Если есть проблемы, попробуйте объяснить на счетных палочках или спичках или на рисунке, я напишу позже или можете посмотреть здесь пример со стаканчиками и скитлс. Я имею в виду маленькие разряды, конечно. Большие, с огромным количеством единиц, объясняем по аналогии. Что касается написанных здесь объяснений, то вам только кажется, что вы путаетесь в нагромождениях единиц, десятков единиц и прочих. Возьмите листок бумаги и карандаш. Начертите разрядную таблицу и попробуйте так же разобрать любое число. Только звучит громоздко, на практике все проще.

Сейчас рассматриваем только натуральные числа. Нарисуем таблицу. Или используем специальную заготовку (разрядную рамку), её можно положить на любой лист и писать. Делается очень просто — один раз рисуете разрядную таблицу на листочке в клеточку, по желанию раскрашиваете и наклеиваете на картон. У нас была вот такая (на листочке в клеточку, потому что удобно класть на тетрадный лист).

IMG_1955

Разберем на конкретном примере. У нас есть число 55 342. Разберем это число по разрядам. Смотрим разряды справа налево (⇐), ведь именно так мы проходим их в школе (постепенно), хотя сами числа пишем слева направо (⇒).

Продолжить чтение «Системы счисления_1. Десятичная система.»

Метрическая система_2. Немного географии. Географическая долгота.

Теперь поговорим о географической долготе. И меридиане, именно он нам понадобиться при изучении истории метрической системы. Еще раз, долгота и меридиан — не одно и то же. Долгота устанавливается путем различных исследований  (как и широта), а меридиан — это линия, которая наносится на карту или глобус. Сейчас за начальный (нулевой, то есть имеющий нуль градусов) признан Гринвичский меридиан (в 1884 году). Во многих странах были свои  нулевые меридианы: в Испании — Мадридский, в Италии — Римский, во Франции — Парижский, в России — Пулковский (он проходил через главную обсерваторию страны на Пулковских высотах).

Плоскость нулевого меридиана — это то, от чего мы отсчитываем (для широты, напомню, такой плоскостью отсчета является плоскость экватора, «нуль градусов»).  От плоскости нулевого меридиана мы отсчитываем долготы и наносим на карту линии долготы — меридианы. Отсчитываем в обе стороны — от 0 градусов до 180 градусов. Если считаем к востоку, то говорим «____ градусов восточной долготы, если считаем на запад, то говорим «____ градусов западной долготы «.

Меридиан — это угол между плоскостью меридиана, который проходит через точку, которую мы выбрали (все остальные точки этого меридиана будут иметь такую же долготу) и плоскостью начального (нулевого) меридиана.

_2

Если посмотреть на макет из пластилина, то плоскость нулевого меридиана будет слева. Справа плоскость меридиана, на котором находится выбранная нами точка. Угол между этими двумя плоскостями  и будет географической долготой. Точки нулевого меридиана имеют одинаковую долготу (нуль градусов) и точки меридиана, на котором лежит выбранная нами точка, тоже будут иметь одинаковую долготу. Если вы перевернете пластилиновый шарик-макет, то убедитесь, что это напоминает определение широты, только исходной является не плоскость экватора, а плоскость начального меридиана.

Когда мы наносим линии широты (параллели) и линии долготы (меридианы) на глобус или географическую карту, то получается картографическая сетка, с которой мы обычно и работаем, когда определяем координаты.

Вы понимаете, что параллели и меридианы можно определять не только в градусах, но и в минутах, и в секунда и в долях секунды, для большей точности.

На этом с географическими объяснениями заканчиваем и переходим к исторической части.

 

Метрическая система_1. Немного географии. Географическая широта.

Пишу этот пост по просьбе знакомых из учительского сообщества в соцсетях. Пост пишется не для детей, как как им многие понятия не знакомы (речь о начальной школе), а для взрослых, которые могут потом объяснить детям.

Метрическая система. Почему «метрическая»? Потому что её основа  — это метр. Поэтому нам нужно разобраться с тем, откуда метр взялся и что он собой представляет.

Но прежде всего нам нужно вспомнить, что такое географические координаты, параллель и меридиан. Почему? Потому что метр — это определенная часть меридиана. И тогда становится понятно, почему мы так долго шли к такой системе.

Для взрослых напомню, если кто-то забыл.

У нас есть географические координаты — широта и долгота. Они определяют положение любой точки на земном шаре относительно экватора и начального меридиана. Вспоминаем, что такое экватор. Это воображаемая линия. Она соединяет на земном шаре точки, которые одинаково удалены от полюсов (да-да, в детстве все считают, что это линия, которая делит глобус на две половины).  Но воображаемой эта линия является только для земного шара. Для глобуса эта линия вполне реальная, её можно рассмотреть с детьми, и ещё от нее можно отсчитывать широты (на экваторе все точки имеют нулевую широту, ведь это линия отсчета). Линии, параллельные линии экватора, мы называем параллелями. Это линии широты. Отсчитываются они в градусах, вдоль меридиана (про меридиан чуть позже). Отсчет ведется от экватора на север и на юг.  От нуля градусов (это на экваторе) до девяноста градусов (это Северный или Южный полюс). Поэтому обычно говорят «столько-то градусов южной широты» и «столько-то градусов северной широты». Чтобы было понятно, в какую сторону от экватора мы двигались. На одной и той же параллели все точки будут иметь одинаковую широту.

На всякий случай. Широта и параллель — это не одно и то же. Нет, я понимаю, что вы знаете, но есть и те, кто не знает. Параллель — это линия широты, то есть линия, которую составляют точки, имеющие одинаковую географическую широту. Определение говорит нам, что географическая широтаэто угол между отвесной линией в конкретной точке и плоскостью экватора. Непонятно? Не помните, что такое плоскость экватора? Слепите шарик из пластилина и разрежьте пополам. Да, это она, плоскость экватора. И шарик пластилиновый держите под рукой, он нам пригодится еще, чтобы эти объяснения и дальше были понятны, лучше все сделать руками. Запоминается лучше. Теперь берем булавку, знаете, есть такие швейные с цветными шариками на концах. Теперь положим на нашу плоскость экватора листочек бумаги и обрежем, оставим пару миллиметров,  чтобы не потерять эту плоскость из виду.

IMG_1743

Возвращаем на место верхнюю половину шарика. Теперь втыкаем в шарик булавку так, чтобы у нас тот конец булавки, который мы втыкаем, оказался в середине плоскости экватора (нашего бумажного кружочка).

IMG_1745

Справились? Вот угол, который образует булавка и бумага (плоскость экватора) и есть географическая широта. А цветной шарик на конце булавки — это точка на поверхности земного шара. Еще булавки есть? Если мы продолжим  втыкать их рядом, так чтобы их кончики попадали в одну и ту же точку (в середину плоскости экватора), то мы увидим, что цветные шарики (наконечники булавок) образовали на нашем шарике окружность. Эта окружность и есть параллель, то есть линия из точек, которые имеют одинаковую широту. Широта — это результат исследований, геодезических и астрономических. Параллель — это линия, нанесенная на географическую карту или глобус.

IMG_1746

Что это значит? Это значит, что если из любой из этих точек мы проведем отвесную линию  (в нашем случае, эта линия — это «тело» булавки), то каждая из этих отвесных линий образует с плоскостью экватора одинаковый угол. Все эти точки имеют одинаковую географическую широту. Давайте посмотрим как это выглядит на срезе (фото техническое) 🙂

IMG_1779

Помимо линий широты, у нас есть еще линии долготы — меридианы. Но о них в следующий раз.

Абак. Тоже разряды.

Делали мы абак очень давно. Поэтому сейчас пришлось делать новое поле и новые «камушки» для вычислений («камушки», потому что в Древнем Риме для подсчета на абаке использовали небольшие камушки, они назывались calculus). Но когда-то он очень хорошо помог понять римскую систему счёта.

Дописано позже: В римском абаке камушки лежали в желобках или на полосках. У меня они стоят на линиях, так мне проще было потом перейти с детьми к соробану и к счетам. Но если вы планируете делать много расчетов, то, возможно, удобнее будет поставить «камушки» на полоски. Ниже добавлю фото «на полосках». Разряды сохраняются.

_1_общий вид

И на «полосках».

_7_полоски

Считаем по линиям (или по полоскам, смотря как вы поставили камушки). Каждая линия (полоска) — разряд: единицы, десятки, сотни и так далее.

Оранжевые камушки наверху — это пять единиц разряда. То есть 5, 50, 500 и так далее (в зависимости от разряда).

2_пятерки.jpg

Жёлтые камушки внизу — это единицы разряда. То есть каждый из этих жёлтых камушков означает 1, 10, 100, 1000  и так далее (в зависимости от разряда).

_2_единицы

Для того чтобы набрать число, нужное количество камушков мы сдвигаем к линии в середине листа.

Предположим, мы решили набрать число 657. Набираем справа налево.

Сначала набираем единицы. Нам их нужно семь. Сдвигаем к «линии счета» два жёлтых камушка (каждый из них равен единице) и один оранжевый (это пять единиц разряда). Получаем семь единиц.

_4_набор единиц

Вариант «на полосках»

_8_полоски_единицы

Теперь наберем десятки. Нам их нужно пять. Спускаем один оранжевый камушек к линии счета. Все, мы получили пять единиц разряда десятков, то есть 50.

_5_набор десятков

Вариант «на полосках»

_9_полоски_десятки

Набираем сотни. Нам нужно шесть сотен. Спускаем к линии счета один оранжевый камушек (пять единиц разряда сотен, то есть 500) и поднимаем к линии счета один камушек (это одна единица разряда, то есть 100). Всего 600.Итак, мы получили число 657.

_6_набор сотен

Вариант «на полосках»

_10_полоски_сотни

Кому хочется узнать больше, в том числе и о счете на пальцах у древних римлян. то пройдите по ссылке (про абак там тоже есть).

P.S. Соробан у нас тоже был. Но счет на нем как-то не пошёл, самодельный абак использовался больше (делали на большом листе, использовали бусины).

Но соробан нужно найти и купить, а листок бумаги, карандаш, линейка и два куска пластилина, найдутся, я думаю, в любом доме, где есть школьник. И можно сразу пробовать. Кроме пластилина, для «камушков» абака подойдут мелкие пуговицы (два цвета), бусины (два цвета), любые мелкие конфеты типа скитлс.

При подсчетах сильно пригодится состав чисел 5 и 10.

Хорошо написано о римских цифрах в книге В. Лёвшина «Три дня в Карликании». Но, рассказывая про цифры, он все же говорит о цифрах привычных нашему пониманию. Но про формирование цифр можно сказать отдельно (в книге Лёвшина то не описано). Современный вариант римской системы не соответствует той, которая использовалась в древности. четверка записывалась как четыре палочки, а девятка как галочка и четыре палочки (VIIII). То есть запись была основывалась на «принципе сложения», VI — это «пять да один — итого шесть». Для иллюстрации этого принципа достаточно набрать число шесть или девять  на абаке. Иногда, например, могло писаться и IV и все равно считалось, что это «шесть». То есть в те времена не имело значения, где стояла палочка или палочки. Все равно действовал «принцип сложения». Римляне обычно не вели расчетов на бумаге. Они делали их на абаке и записывали результат.  Потом император Септимий СевЕр запретил писать меньшие числа перед большими. И остался только один вариант записи шестерки и девятки — VI и VIIII.

А вот запись чисел, основанная на «принципе вычитания», то есть чисел IV (четыре) и IX (девять), которая означает «вычти из последующего числа предыдущее и вот тебе результат», появилась уже в Средневековье. И на абаке её не изобразить. По крайней мере, нам так объясняли на лекциях Возможно есть и другие версии.

 

 

 

Десятичная дробь. Часть 14. Деление положительной десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и так далее.

Пост все равно получился длинным, но что поделаешь.

Итак, умножение мы обсудили здесь. Перейдем к делению. Также как и в случае с умножением, у нас возникает вопрос: в чем дело? Я делю, казалось бы, дроблю число на части, а в результате получаю большее число.

Давайте вспомним, что такое деление. Это сокращенная запись вычитания. Можно взять число 15, например, и последовательно вычитать из него 3, до тех пор пока мы не получим нуль.

Рисунок 1

на одну десятутю_1

Но мы не пользуемся только маленькими числами. Если мы решим последовательно вычитать число 3 из числа 333, чтобы понять сколько раз число 3 «помещается» («укладывается») в число 333, то рука устанет писать тройки. Для того, чтобы записать это действие кратко и существует деление. Продолжить чтение «Десятичная дробь. Часть 14. Деление положительной десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и так далее.»

Десятичная дробь. Часть 13. Умножение положительной десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и так далее.

Эта тема тесно связана с тем, что мы уже изучили, с умножением и делением десятичной дроби на 10; 100; 1000 и так далее. Если забыли, вам сюда. Сейчас объясню почему тесно связана.

Умножение числа на 0,1; 0,01; 0,001 и так далее.

Часто возникает вопрос: почему, когда мы умножаем число на 0,1; 0,01; 0,001 и так далее, число становится меньше? Ведь мы же умножаем. При умножении число обычно становится больше, разве нет?

Давайте разберемся. Для этого нужно вспомнить, что такое вообще умножение. Это сокращенная запись сложения. Когда людям надоело писать двадцать пятерок подряд и последовательно их складывать, они решили записывать это кратко.

Предположим, нам нужно умножить пять на пять. Что это  значит?

на одну десятую

Для тех, кто лучше понимает, когда видит не числа, а картинки.

на одну десятую_3

Сначала хотела сделать общий пост, в котором было бы и умножение, и деление на 0,1; 0,01; 0,001. Но получается слишком длинно. Поэтому продолжение следует. О делении в следующем посте.

 

Разряды. Для самых маленьких.

Сомневалась, выкладывать или нет. Для шестого класса, наверное, уже не очень важно, мы столько лет говорим о разрядной системе. На всякий случай, она рассмотрена здесь. Но как вариант для объяснения разрядов кому-нибудь пригодится, я думаю.

Вариант 1. «Матрешка из стаканов»

Итак, пишем на стаканах цифры. От нуля до 9. Стаканов берем столько, сколько нам нужно разрядов. Если вы объясняете ученику начальной школы (младшему брату или сестре), то трех — четырех будет достаточно. Внутри (как вы видите на фото) написано нужное количество нулей. Когда мы вкладываем стаканы один в другой, то нули закрыты, когда нам надо рассмотреть состав числа — то есть написать, что, например,

567 = 500 + 60 + 7

то стаканы разъединяем.
_1

К сожалению, для снимков не нашла белых бумажных стаканов, которые были у нас, когда мне объясняли разряды. Они лучше держатся, потому что не скользят. И не прозрачные. Если есть возможность, лучше взять их.

 

 

Вариант 2. Бусины или драже.

_2Как вариант, можно написать названия разрядов на стаканах и использовать цветные бусины. То есть у вас в стакане «единицы» — 1 лежит 10 зеленых бусин. Высыпаем их и заменяем на 1 оранжевую — 1 десяток. И кладем в стакан с надписью «десятки». 10 десятков — 1 красная бусина (сотня) и так далее. Если у вас нет бусин используйте  Skittles или другое разноцветное драже. Не объедайтесь!:)

У меня сейчас под рукой нет ни бусин, ни драже, поэтому фото не будет.

 

 

 

 

Вариант 3. Набираем карточки.

Здесь все совсем просто и можно ничего не объяснять. Этот способ и так все знают, но пусть будет. Листочки для набора не обязательно нужны клейкие и разноцветные. Можно разрезать любой лист.

IMG_1630

Десятичная дробь. Часть 12. Ещё немного о делении десятичной положительной дроби.

Вопрос вот в чем:

Мы разобрали как делить на 10. А если нужно разделить на 20 или на 250? Давайте подумаем, а нужно ли нам сохранять нуль в делителе (в числе на которое мы делим)?

Предположим, нам нужно разделить десятичную дробь 0,003 на 50. Разве не проще было бы разделить на 5, откинув нуль?

Как это сделать?

Воспользуемся основным свойством дроби, мы его уже много раз использовали и всегда успешно. Оно гласит: «Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь».

Ведь по сути наш пример можно записать не только как:

0,003 : 50,

но и как:

$$ \frac{0,003}{50} $$

Смотри рисунок 1

деления

Как мы помним, дробная черта — это знак деления. Продолжить чтение «Десятичная дробь. Часть 12. Ещё немного о делении десятичной положительной дроби.»

Десятичная дробь. Часть 11. Делим десятичную дробь на десятичную дробь.

.jpg

Нельзя делить десятичную дробь на десятичную дробь! Десятичную дробь можно делить только на натуральное число. И всё.

на десятичную дробь

из учебника

Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь, надо в делимом и в делителе перенести запятую настолько цифр вправо, сколько их после запятой в делителе, и затем выполнить деление на натуральное число.