Десятичная дробь. Часть 6. Сложение положительных десятичных дробей.

После того, как мы научились сравнивать десятичные дроби по разрядам, научиться складывать и вычитать десятичные дроби будет несложно. Ведь это тоже делается по разрядам. Опять напоминаю, пока мы говорим только о положительных десятичных дробях, об их сложении и вычитании.

Что нам нужно, чтобы разряды не «сместились»? Правильно, нам нужно, чтобы запятые находились одна под другой.

Так же как и при сравнении десятичных дробей, нужно уравнять количество разрядов, то есть сделать так, чтобы у обеих дробей после запятой было одинаковое количество знаков.

Сложение десятичных дробей

 Рассмотрим на конкретном примере. Нам нужно сложить две десятичные дроби: 0,678 и 13,7.

1. Уравняем количество знаков (разрядов) после запятой.

2. Складываем, как если бы у нас не было запятой, как будто мы складываем целые числа. В сумме (в ответе) запятую ставим по линии границы между целой и дробной частями, то есть запятая должна стоять строго под запятыми двух дробей, которые мы складывали (см. рисунок).

десятичных дробей

Примечание:

нули_сложение
Если в сумме (в ответе)  в результате сложения у нас будут нули в конце дробной части (в последних разрядах дробной части), то мы можем просто отбросить их.

 

 

Десятичная дробь. Часть 5. Сравнение положительных десятичных дробей.

.jpg

 

Удобно сравнивать положительные десятичные дроби с одинаковым количеством разрядов (знаков) после  запятой.

Поэтому сначала уравниваем количество знаков после запятой ( то есть в дробной части), а уже потом начинаем сравнивать. Еще раз напоминаю, что пока мы говорим только о положительных десятичных дробях.

Уравниваем количество знаков после запятой:

Допустим, нам даны две десятичные дроби: 39,7 и 39,719

десятичных дробей_2

Сколько знаков после запятой не хватает у дроби 39,7? Двух знаков, мы обозначили их точками. Если этих знаков нет, это означает что эти разряды (сотые и тысячные) пусты. Впишем туда нули, чтобы показать, что разряды пусты и в них нет единиц. И тем самым уравняем количество знаков после запятой.

десятичных дробей_3

Теперь количество знаков после запятой (в дробной части) одинаково и можно приступать к сравнению.

 

 

Сравниваем десятичные дроби:

Дроби нужно сравнивать поразрядно, то есть сравнивать один разряд за другим. Сначала сравниваем разряды целой части, затем разряды дробной части.

Проще сравнивать, если дроби записаны одна под другой. При этом нужно следить, чтобы запятые «совпали» (то есть запятые двух дробей находились одна под другой). Ведь запятая — это граница целой и дробной частей. Если будут стоять по-разному, то и разряды будут сдвигаться. Нельзя нарушать границу.

десятичных дробей_разряды

Сейчас, когда в наших двух дробях одинаковое количество знаков (разрядов) после запятой, мы можем начать их сравнивать. Поразрядно (то есть по разрядам).

 

 

 

десятичных дробей_разрядыСначала сравним разряды целой части. Их у нас два — десятки и единицы. Сравнили десятки. В обеих дробях по три десятка. Сравнили единицы. В обеих дробях по девять единиц. Какой делаем вывод? Целые части этих двух дробей равны. Значит, пока мы не можем сказать какая дробь больше.

Но если бы у одной их этих дробей целая часть оказалась бы больше, чем у другой, то на этом сравнение можно было бы и закончить. И так понятно, что больше будет та дробь, у которой целая часть больше.

десятичных дробей_сравниваем десятые

А мы продолжаем сравнивать. Разряды целой части сравнили, принимаемся за разряды дробной части. Сначала сравним десятые. Сколько у нас десятых в первой дроби? Семь. А во второй? Семь. Значит, пока мы не можем сказать, какая дробь больше.

Если бы у одной из дробей было бы больше десятых в дробной части, то мы могли бы завершить на этом наше сравнение. Больше была бы та дробь, у которой больше десятых (при том, что целые части у них равны, так как 39=39).

десятичных дробей_сравниваем сотыеИтак, целые части у нас равны, десятые в дробной части равны. Проверим сколько у нас сотых в дробной части. В одной дроби у нас нуль сотых, во второй — одна сотая. 1>0, как известно. Следовательно, больше будет та дробь, в которой больше сотых, ведь предыдущие разряды равны. На этом мы можем прекратить сравнение и сделать вывод, что дробь 39,719 > дроби 39,7. Обратите внимание, что нули после сравнения, можно отбросить. Их сохраняют только в случае, когда нужно подчеркнуть точность (например, когда мы что-то измеряем).

Но в случае, если бы у нас и сотые оказались равны, мы бы сравнивали  тысячные, десятитысячные и далее поразрядно.

Примеры выложу ниже.

Определения из учебника, вдруг понадобятся (учебник С. М. Никольского, 6 класс).из учебника

 

В дробной части десятичной дроби можно приписать справа нули — получится дробь равная данной.

Если в дробной части десятичной дроби имеются справа нули, то их можно отбросить — получится дробь равная данной.

Из двух десятичных положительных дробей больше та, у которой целая часть больше; при равенстве целых частей больше та дробь, у которой цифра разряда десятых больше; при равенстве целых частей и цифр разряда десятых больше та дробь, у которой цифра разряда сотых больше и так далее.

Пример_1

десятичных дробей_пример1

Пример_2

десятичных дробей_пример2

Пример_3

десятичных дробей_пример 3

 

Десятичная дробь. Часть 4. Как записывается десятичная дробь.

Итак, в части третьей мы рассмотрели, как мы можем превратить обычную дробь в дробь, знаменатель которой равен 10, 100, 1000 и так далее.

действий

1. Возьмем дробь

$$ 43\frac{14}{1000} $$

2. Смотрим сколько разрядов у нас в целой части. У нас 4 десятка и 3 единицы. То есть в целой части у нас два разряда. Запишем:

43

3. Ставим запятую. Это граница, отделяющая целую часть от дробной. Запись целой части окончена.

43,

4. Начинаем записывать дробную часть. Посмотрим на знаменатель нашей дроби. Сколько в нем нулей? Три. Ставим после запятой три точки. Это разряды, которые мы должны заполнить.

43, • • •

5. Начинаем заполнять разряды. Мы должны вписать сюда наш числитель, число 14. Заполняем справа налево (⇐). То есть последнюю цифру числителя — цифру 4, пишем в последний разряд.

43, • • 4

6. Продолжаем заполнять справа налево(⇐). То есть следующую цифру числителя — цифру 1, пишем в разряд, который находится перед цифрой 4.

43, • 1 4

6. Сейчас у нас остался один незаполненный разряд. Но цифр в числителе больше нет. Значит, и единиц в этом разряде не будет. Что мы пишем, чтобы показать что в разряде нет единиц? Нуль. Вот его и напишем вместо последней точки.

43, 0 1 4

Итак, мы записали дробь $$ 43\frac{14}{1000} $$

в виде десятичной дроби

43, 014

десятичной дроби

 

Десятичная дробь. Примечание к части 3.

Перед тем как мы начнем раскладывать знаменатель важно убедиться, что дробь больше нельзя сократить (если, конечно, от нас не требуют, чтобы мы использовали дробь в таком виде, как нам её дали и не сокращали её).

Пример:

У нас есть дробь

$$ \frac{3}{60} $$

Раскладываем знаменатель:

шестидесятых

Мы видим, что эту дробь невозможно превратить в конечную десятичную дробь.

Но если мы сократим дробь $$ \frac{3}{60} $$

то получим дробь$$ \frac{1}{20} $$

Раскладываем знаменатель:

двадцатая

Эту дробь мы можем превратить в конечную.

Поэтому чтобы не делать ошибок, нужно проверить, сократили мы дробь до конца или можно ещё.