Координатный луч

Прямая линия бесконечна в оба конца. И на ней очень удобно изображать числа. Давай разберемся как это делать.

Начертим на листе бумаги в клетку прямую линию.

IMG_3773

Отметим на ней точку, которую назовем начальной и обозначим буквой О.

IMG_3774

Эта точка разделит нашу прямую на две части. Такие две части прямой называются лучами. И они тоже бесконечны, как и прямая. Один идет до бесконечности вправо, другой до бесконечности влево. Мы с тобой будем сейчас работать только с тем лучом, который идет вправо.

IMG_3775

На нем располагаются положительные числа, то есть числа больше нуля (есть еще и отрицательные, но о них мы будем говорить немного позже, поэтому луч на котором отрицательные числа расположены, мы сделаем невидимым).

IMG_3776

И начнем работать с правым лучом.

IMG_3777

Теперь отступим от точки О вправо на одну клетку, поставим точку и напишем под ней 1 (ведь мы сделали только один шаг).

IMG_3778

Потом отступим еще на одну клетку, опять поставим точку и напишем цифру 2 (теперь мы сделали два шага) и так далее. Конечно же, мы не можем написать все числа, которые можно уместить на координатном луче, ведь он бесконечен, значит, и количество шагов, которое мы можем сделать, тоже бесконечно. Но мы можем написать их столько, сколько их поместиться на тетрадном листе (пишем постепенно,  то есть делаем шаг и под новой точкой записываем, сколько же шагов мы уже сделали).

IMG_3779

Обрати внимание, я букву О перенесла и записала над точкой, а под ней тоже записала количество шагов, которое мы сделали, чтобы достичь этой точки. Это ноль шагов. Это начало, мы еще никуда не пошли.

 Дальше я буду писать букву O красным. То есть красным будем писать название буквы O, а синим под ней количество шагов, то есть ноль. Можно было бы выбрать другую букву, так как O похожа на ноль, но для того, чтобы обозначить начало отсчета шагов по лучу чаще всего во всех учебниках используют именно букву О, поэтому давай будем придерживаться общего правила. Эту точку также называют «начало координат».

IMG_3782

Получается, что у каждой точки на луче есть свой номер, свой адрес? Да. Это количество шагов, которое мы сделали по лучу вправо, чтобы достичь этой точки. Это количество шагов называется координатой точки. А сам луч именно потому и называется координатным, потому что на нём записаны координаты точек. Еще раз повторим – буквы (большие латинские, например, A,B,C,F,G, H  и другие) – это имена (названия) точек. А цифры под ними – это координаты точек. Не путай. Обычно точку записывают так: сначала пишут ее имя (название), а потом в скобках указывают координату. Посмотри на рисунок. Давай запишем, какие точки у нас изображены.

IMG_3781

A(7); B(13);F(18)

И наоборот. Предположим, нам написали точки с координатами и просят их отметить на координатном луче. Например, F(4), E(7), G(12)

Что мы делаем?

Чертим луч с точкой О в начале (это начало отсчета или начало координат).

IMG_3782

Выбираем единичный отрезок. Пусть он будет 2 клетки. И делим на такие отрезки наш луч.

IMG_3783

Теперь смотрим на координаты точек.

F(4). Делаем 4 шага от ноля (то есть отсчитываем 4 единичных отрезка) и отмечаем точку  F(пишем ее название над точкой). Под точкой пишем ее координату.

IMG_3786

E(7) Делаем 7 шагов от ноля (то есть отсчитываем 7 единичных отрезков) и отмечаем точку  E (пишем ее название над точкой). Под точкой пишем ее координату.

IMG_3788

G(12) Делаем 12 шагов от ноля (то есть отсчитываем 12 единичных отрезков) и отмечаем точку G(пишем ее название над точкой). Под точкой пишем ее координату.

IMG_3789

Какую еще важную вещь мы можем отметить? Мы всегда делали шаг длиной в одну клетку. То есть наши шаги по координатному лучу всегда были одинаковыми. И это очень важно. Предположим, тебя попросили измерить шагами длину тротуара. Если ты сначала пойдешь мелкими шажками, а потом будешь идти широкими шагами и скажешь, что насчитал 25 шагов, твои измерения не будут верными, ведь шаги были разными.

Важно, чтобы шаги всегда были одинаковыми. Поэтому, если уж мы выбрали шаг длиной в одну клетку, то мы так и будем шагать 1 клетку. Такие одинаковые шаги называются единичными отрезками. Почему единичными? Потому что мы каждый такой отрезок принимаем за какое-то количество единиц.Сейчас мы с тобой решили, что у нас 1 единичный отрезок обозначает одну единицу (но как мы увидим дальше, 1 единичный отрезок может обозначать и большее количество единиц).

Всегда ли мы должны рисовать единичный отрезок размером в одну клетку? Не самый удобный размер, особенно в тетради, не очень удобно писать большие числа рядом, ведь иногда координатой точки может быть не только однозначное, но и двузначное и трехзначное число, тяжело, уместить такой «адрес» под точкой, если у тебя для этого всего одна клетка, попробуй и сам увидишь. Но мы же можем взять отрезок равный двум клеткам, трем клеткам, четырем клеткам и так далее. И скажем себе: «Я беру отрезок равный двум клеткам, пусть он обозначает единицу». Но как ты можем увидеть на рисунке, чем длиннее единичный отрезок, тем меньше чисел мы можем записать на нашем координатном луче. Посмотри, когда единичный отрезок был равен 1 клетке, мы записали числа от 0 до 28. Когда он был равен 2 клеткам, от 0 до 15 так далее. То есть ты всегда должен подумать, сколько чисел ты должен уместить на луче.

IMG_3780

Если же нам нужно вместить как можно больше чисел на координатный луч, мы можем брать единичный отрезок меньше 1 клетки, например, половину клетки и даже меньше.

Но ЗАПОМИНАЕМ: все единичные отрезки на одном координатном луче должны быть одной длины.

Как выбрать единичный отрезок?

Предположим, нам дали задание отметить на координатном луче точки со следующими координатами: А(100); В(200); С(500). Как нам это сделать? Посмотри на тетрадный лист. Можешь, конечно, пересчитать, но и так понятно, что клеток меньше ста. Как поступим?

Все не так сложно. Если до этого мы считали, что единичный отрезок равен 1, то почему мы не можем сказать: «А в этот раз мы будем считать, что единичный отрезок равен 100 единицам». И выберем любую длину отрезка, которая нам удобна. Пусть это опять же будет 2 клетки. Итак, один единичный отрезок длиной две клетки, мы считаем равным 100 единицам (мы еще можем сказать, что один наш шаг на координатном луче равен 100 единицам, вот шагнули мы и сразу сто единиц прошли). И тогда мы легко можем отметить точки, которые от нас требуют.

Итак, если тебя попросили отметить точки на луче, то ты должен продумать два вопроса:

  1. сколько единиц будет обозначать единичный отрезок (1 единицу, 5 единиц, 10 единиц, 15 единиц и так далее)
  2. Какой длины будет свой единичный отрезок (1 клетка, 2 клетки и так далее). Ведь если тебе, например, нужно отметить точки A (5000), B(6000), C(7000) D(8000), то понятно, что лучше не брать отрезок размером 1 клетку. Тебе будет неудобно записывать координаты точек, разумнее взять отрезок длиной 2 или даже 3 клетки.

И давай определимся, какая точка у нас будет правее на координатном луче?

Предположим, на координатном луче имеются две точки: А(123) и В(1123). Какая из них будет расположена правее? Конечно же, та, до которой мы сделали большее количество шагов по координатному лучу. То есть точка В(1123). То есть правее будет та точка, у которой больше координата.

Таблица умножения. Небольшое дополнение.

Небольшое дополнение ко вчерашнему посту.

Как мы уже говорили, лучше дать ребенку заполнить таблицу умножения самостоятельно, причем 2 раза: сверху вниз и снизу вверх. По строчкам и по столбикам. И отметить еще одну закономерность:

Пифагора_сверху вниз_дроби

Пифагора_снизу вверх_дроби

Десятичная дробь. Часть 14. Деление положительной десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и так далее.

Пост все равно получился длинным, но что поделаешь.

Итак, умножение мы обсудили здесь. Перейдем к делению. Также как и в случае с умножением, у нас возникает вопрос: в чем дело? Я делю, казалось бы, дроблю число на части, а в результате получаю большее число.

Давайте вспомним, что такое деление. Это сокращенная запись вычитания. Можно взять число 15, например, и последовательно вычитать из него 3, до тех пор пока мы не получим нуль.

Рисунок 1

на одну десятутю_1

Но мы не пользуемся только маленькими числами. Если мы решим последовательно вычитать число 3 из числа 333, чтобы понять сколько раз число 3 «помещается» («укладывается») в число 333, то рука устанет писать тройки. Для того, чтобы записать это действие кратко и существует деление. Продолжить чтение «Десятичная дробь. Часть 14. Деление положительной десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и так далее.»

Десятичная дробь. Часть 13. Умножение положительной десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и так далее.

Эта тема тесно связана с тем, что мы уже изучили, с умножением и делением десятичной дроби на 10; 100; 1000 и так далее. Если забыли, вам сюда. Сейчас объясню почему тесно связана.

Умножение числа на 0,1; 0,01; 0,001 и так далее.

Часто возникает вопрос: почему, когда мы умножаем число на 0,1; 0,01; 0,001 и так далее, число становится меньше? Ведь мы же умножаем. При умножении число обычно становится больше, разве нет?

Давайте разберемся. Для этого нужно вспомнить, что такое вообще умножение. Это сокращенная запись сложения. Когда людям надоело писать двадцать пятерок подряд и последовательно их складывать, они решили записывать это кратко.

Предположим, нам нужно умножить пять на пять. Что это  значит?

на одну десятую

Для тех, кто лучше понимает, когда видит не числа, а картинки.

на одну десятую_3

Сначала хотела сделать общий пост, в котором было бы и умножение, и деление на 0,1; 0,01; 0,001. Но получается слишком длинно. Поэтому продолжение следует. О делении в следующем посте.

 

Десятичная дробь. Часть 12. Ещё немного о делении десятичной положительной дроби.

Вопрос вот в чем:

Мы разобрали как делить на 10. А если нужно разделить на 20 или на 250? Давайте подумаем, а нужно ли нам сохранять нуль в делителе (в числе на которое мы делим)?

Предположим, нам нужно разделить десятичную дробь 0,003 на 50. Разве не проще было бы разделить на 5, откинув нуль?

Как это сделать?

Воспользуемся основным свойством дроби, мы его уже много раз использовали и всегда успешно. Оно гласит: «Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь».

Ведь по сути наш пример можно записать не только как:

0,003 : 50,

но и как:

$$ \frac{0,003}{50} $$

Смотри рисунок 1

деления

Как мы помним, дробная черта — это знак деления. Продолжить чтение «Десятичная дробь. Часть 12. Ещё немного о делении десятичной положительной дроби.»

Десятичная дробь. Часть 11. Делим десятичную дробь на десятичную дробь.

.jpg

Нельзя делить десятичную дробь на десятичную дробь! Десятичную дробь можно делить только на натуральное число. И всё.

на десятичную дробь

из учебника

Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь, надо в делимом и в делителе перенести запятую настолько цифр вправо, сколько их после запятой в делителе, и затем выполнить деление на натуральное число.

Десятичная дробь. Часть 10. Деление и умножение положительной десятичной дроби на 10, 100, 1000 и так далее.

Суть проста. Так как десятичная дробь записывается в десятичной разрядной системе, то:

Когда мы умножаем наше число наше число на 10, мы увеличиваем его на 1 разряд, ведь оно становится в 10 раз больше (мы же помним, что все разряды — это степени числа 10).

Когда мы делим наше число наше число на 10, мы уменьшаем его на 1 разряд, ведь оно становится в 10 раз меньше.

на 10 100 итд

 

Десятичная дробь. Часть 9. Деление десятичной положительной дроби на натуральное число.

Алгоритм деления немного сложнее, чем алгоритм умножения. Здесь главное не запутаться с запятой. Главное, что следует помнить, что мы складываем, вычитаем, умножаем и делим по разрядам. В прошлом посте про умножение  не стала это писать, так как это, на мой взгляд, и так понятно.

Например, нам нужно разделить 243,2 на 8.

Что это значит на деле? Что мы вообще делаем при делении? Мы делим числа на определенное количество частей (это касается не только дробных чисел, но и натуральных). И мы разряд за разрядом делим на это количество частей (помним, что количество частей — это делитель, да?).  Сначала делим разряды целой части, а когда они закончатся, ставим запятую (границу между целой и дробной частями) и делим разряды дробной части.

Взяли сотни, попытались разделить, не делится, перешли в меньший разряд и вот у вас уже не две сотни, например, а две сотни и четыре десятка или 24 десятка (Мы ведь понимаем, что 240 единиц = 24 десяткам = 2 сотням 4 десяткам, правда ведь? Мы все-таки столько лет изучали это в начальной школе. Это одно и тоже количество единиц, просто оно выражено в разных разрядах). И если две сотни разделить на 8 неудобно, то 24 десятка разделятся просто. На этом и построен принцип «деления в столбик». Если после всего сказанного, вам все равно кажется, что вы читаете китайскую грамоту, то смотрим на рисунок.

десятичной дроби на натуральное число_1Хотелось бы добавить:

Примечание:
Если в частном (в ответе)  в результате деления у нас будут нули в конце дробной части (в последних разрядах дробной части), то мы можем просто отбросить их. (надеюсь, это вы уже запомнили).

Все вопросы, которые возникают при делении, я предусмотреть не смогу, наверное. Но часто возникает вопрос при делении, если в целой части нуль единиц. Рассмотрим пример:

на натуральное число_2

Хочу сказать еще одну важную вещь, о которой часто забывают. Может быть, вы и не забываете, тогда просто пропустите эту часть. Иногда возникает вопрос, что делать, если разрядов не хватает?

Нужно помнить, что любое число, это не просто цифры, которые висят в воздухе. Если посмотреть с точки зрения геометрии, число — это прямая, уходящая в обе стороны в бесконечность. Предположим, есть у вас число 25, 2. Какие здесь обозначены разряды? Разряды десятков и единиц в целой части и разряд десятых в дробной части. Но это не значит, что других разрядов не существует. Они существуют, просто в них нуль единиц. И поэтому эти разряды мы договариваемся не писать. Это как раз и есть то самое «откидывание нулей». Посмотрите на рисунке.

десятичной дроби на натуральное число_2

Что мы видим на рисунке? Мы видим, что в дроби 25,2  у нас есть два десятка единиц, 5 единиц и 2 десятых единицы. Это разряды, которые для нас видимы. Но еще в этом числе нуль сотен, нуль тысяч, нуль десятков тысяч и так далее ( в целой части) и нуль сотых, нуль тысячных и так далее ( в дробной части). Всех «невидимых» разрядов не перечислишь, они уходят в бесконечность. Мы просто не пишем их («откидываем нули«), в их написании нет смысла. До определенного момента. И вот когда у нас не хватает разрядов для деления, мы можем сказать, что момент настал. Настал момент, чтобы сделать «видимыми» столько разрядов (столько нулей), сколько нам нужно для деления (говоря по-человечески, мы можем дописать столько нулей), сколько нам нужно.

Лирическое отступление: Если снова провести аналогию с геометрией, то когда вы ставите точку на бумаге, она ведь лежит на прямой, верно? И кроме нее на прямой еще есть огромное количество точек (прямая бесконечна). Но вы выделили только одну, обозначив её карандашом на бумаге. Если вам нужно выделить больше точек, вы ставите еще одну точку (выделяете её среди огромного количества других) и проводите отрезок, а отрезок это ведь тоже  какое-то количество точек, которые вы сделали видимыми.

Давайте посмотрим, как дописывание нулей применяют на практике.

десятичной дроби на натуральное число_4

Определение из учебника (учебник С. М. Никольского, 6 класс).из учебника

 

Деление десятичной дроби на натуральное число выполняется так же, как и деление натуральных чисел, но после окончания деления целой части десятичной дроби надо в частном поставить запятую.

 

 

 

 

 

 

 

Десятичная дробь. Часть 8. Умножение положительных десятичных дробей.

Теперь давайте разберемся с умножением. Алгоритм действий в этом случае простой. Рассмотрим его на примере.

Перемножим десятичные дроби 42,6 и 3, 521.

дробей_1

Главное отличие от сложения и вычитания, о котором мы должны помнить: здесь не нужно следить, чтобы запятые дробей располагались друг под другом. Мы можем писать дроби как нам удобно и перемножать их так как мы раньше перемножали натуральные числа (не обращая внимания на запятую).

 

Как же нам тогда понять, где ставить запятую в ответе (где будет проходить граница целой и дробной частей?

См. рисунок 1

дробей_2

Примечание:
Если в произведении (в ответе)  в результате умножения у нас будут нули в конце дробной части (в последних разрядах дробной части), то мы можем просто отбросить их.

Теперь когда мы сформулировали алгоритм, давайте разберемся, почему так происходит. В одной дроби мы так уверенно взяли три разряда, в другой — один, и сложили их, не задумываясь откуда это берется.

Все несложно.

Представим эти же дроби в виде обыкновенных, а не десятичных дробей. И проверим, сколько получается.

См. рисунок 2дробей_3

Определение из учебника (учебник С. М. Никольского, 6 класс).из учебника

 

Чтобы перемножить две десятичные дроби, достаточно перемножить их как натуральные числа, не обращая внимания на запятые, а в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр, сколько их было после запятых в обоих множителях вместе.

 

Десятичная дробь. Часть 7. Вычитание положительных десятичных дробей.

После того, как мы рассмотрели сложение положительных десятичных дробей, добавить можно только одно: десятичные дроби вычитается по похожему  алгоритму.

Рассмотрим на конкретном примере. Допустим, нам надо вычесть из десятичной дроби 19,32 десятичную дробь 6,418.

1. Уравняем количество знаков (разрядов) после запятой.

2. Вычитаем, как если бы у нас не было запятой, как будто мы вычитаем одно целое число из другого. В ответе запятую ставим по линии границы между целой и дробной частями, то есть запятая в разности (в ответе) должна стоять строго под запятыми уменьшаемого (той дроби, из которой мы вычитаем) и вычитаемого (той дроби, которую мы вычитаем).

(см. рисунок).

десятичных дробей

Примечание:

нули_вычитаниеЕсли в разности (в ответе)  в результате вычитания у нас будут нули в конце дробной части (в последних разрядах дробной части), то мы можем просто отбросить их.