Действительные числа

«Строили мы, строили и наконец построили», — как сказал когда-то Чебурашка. Ребенок доделал свою памятку по действительным числам. Осталось еще кое-что вписать в «раскладушки».

«Окошко» под «раскладушкой» обычно оставляем пустым (вдруг захочется еще что-то добавить).

_действительные числа_1

_действительные числа_4

_действительные числа_3

_действительные числа_2

Разряды. Для самых маленьких.

Сомневалась, выкладывать или нет. Для шестого класса, наверное, уже не очень важно, мы столько лет говорим о разрядной системе. На всякий случай, она рассмотрена здесь. Но как вариант для объяснения разрядов кому-нибудь пригодится, я думаю.

Вариант 1. «Матрешка из стаканов»

Итак, пишем на стаканах цифры. От нуля до 9. Стаканов берем столько, сколько нам нужно разрядов. Если вы объясняете ученику начальной школы (младшему брату или сестре), то трех — четырех будет достаточно. Внутри (как вы видите на фото) написано нужное количество нулей. Когда мы вкладываем стаканы один в другой, то нули закрыты, когда нам надо рассмотреть состав числа — то есть написать, что, например,

567 = 500 + 60 + 7

то стаканы разъединяем.
_1

К сожалению, для снимков не нашла белых бумажных стаканов, которые были у нас, когда мне объясняли разряды. Они лучше держатся, потому что не скользят. И не прозрачные. Если есть возможность, лучше взять их.

 

 

Вариант 2. Бусины или драже.

_2Как вариант, можно написать названия разрядов на стаканах и использовать цветные бусины. То есть у вас в стакане «единицы» — 1 лежит 10 зеленых бусин. Высыпаем их и заменяем на 1 оранжевую — 1 десяток. И кладем в стакан с надписью «десятки». 10 десятков — 1 красная бусина (сотня) и так далее. Если у вас нет бусин используйте  Skittles или другое разноцветное драже. Не объедайтесь!:)

У меня сейчас под рукой нет ни бусин, ни драже, поэтому фото не будет.

 

 

 

 

Вариант 3. Набираем карточки.

Здесь все совсем просто и можно ничего не объяснять. Этот способ и так все знают, но пусть будет. Листочки для набора не обязательно нужны клейкие и разноцветные. Можно разрезать любой лист.

IMG_1630

Десятичная дробь. Часть 9. Деление десятичной положительной дроби на натуральное число.

Алгоритм деления немного сложнее, чем алгоритм умножения. Здесь главное не запутаться с запятой. Главное, что следует помнить, что мы складываем, вычитаем, умножаем и делим по разрядам. В прошлом посте про умножение  не стала это писать, так как это, на мой взгляд, и так понятно.

Например, нам нужно разделить 243,2 на 8.

Что это значит на деле? Что мы вообще делаем при делении? Мы делим числа на определенное количество частей (это касается не только дробных чисел, но и натуральных). И мы разряд за разрядом делим на это количество частей (помним, что количество частей — это делитель, да?).  Сначала делим разряды целой части, а когда они закончатся, ставим запятую (границу между целой и дробной частями) и делим разряды дробной части.

Взяли сотни, попытались разделить, не делится, перешли в меньший разряд и вот у вас уже не две сотни, например, а две сотни и четыре десятка или 24 десятка (Мы ведь понимаем, что 240 единиц = 24 десяткам = 2 сотням 4 десяткам, правда ведь? Мы все-таки столько лет изучали это в начальной школе. Это одно и тоже количество единиц, просто оно выражено в разных разрядах). И если две сотни разделить на 8 неудобно, то 24 десятка разделятся просто. На этом и построен принцип «деления в столбик». Если после всего сказанного, вам все равно кажется, что вы читаете китайскую грамоту, то смотрим на рисунок.

десятичной дроби на натуральное число_1Хотелось бы добавить:

Примечание:
Если в частном (в ответе)  в результате деления у нас будут нули в конце дробной части (в последних разрядах дробной части), то мы можем просто отбросить их. (надеюсь, это вы уже запомнили).

Все вопросы, которые возникают при делении, я предусмотреть не смогу, наверное. Но часто возникает вопрос при делении, если в целой части нуль единиц. Рассмотрим пример:

на натуральное число_2

Хочу сказать еще одну важную вещь, о которой часто забывают. Может быть, вы и не забываете, тогда просто пропустите эту часть. Иногда возникает вопрос, что делать, если разрядов не хватает?

Нужно помнить, что любое число, это не просто цифры, которые висят в воздухе. Если посмотреть с точки зрения геометрии, число — это прямая, уходящая в обе стороны в бесконечность. Предположим, есть у вас число 25, 2. Какие здесь обозначены разряды? Разряды десятков и единиц в целой части и разряд десятых в дробной части. Но это не значит, что других разрядов не существует. Они существуют, просто в них нуль единиц. И поэтому эти разряды мы договариваемся не писать. Это как раз и есть то самое «откидывание нулей». Посмотрите на рисунке.

десятичной дроби на натуральное число_2

Что мы видим на рисунке? Мы видим, что в дроби 25,2  у нас есть два десятка единиц, 5 единиц и 2 десятых единицы. Это разряды, которые для нас видимы. Но еще в этом числе нуль сотен, нуль тысяч, нуль десятков тысяч и так далее ( в целой части) и нуль сотых, нуль тысячных и так далее ( в дробной части). Всех «невидимых» разрядов не перечислишь, они уходят в бесконечность. Мы просто не пишем их («откидываем нули«), в их написании нет смысла. До определенного момента. И вот когда у нас не хватает разрядов для деления, мы можем сказать, что момент настал. Настал момент, чтобы сделать «видимыми» столько разрядов (столько нулей), сколько нам нужно для деления (говоря по-человечески, мы можем дописать столько нулей), сколько нам нужно.

Лирическое отступление: Если снова провести аналогию с геометрией, то когда вы ставите точку на бумаге, она ведь лежит на прямой, верно? И кроме нее на прямой еще есть огромное количество точек (прямая бесконечна). Но вы выделили только одну, обозначив её карандашом на бумаге. Если вам нужно выделить больше точек, вы ставите еще одну точку (выделяете её среди огромного количества других) и проводите отрезок, а отрезок это ведь тоже  какое-то количество точек, которые вы сделали видимыми.

Давайте посмотрим, как дописывание нулей применяют на практике.

десятичной дроби на натуральное число_4

Определение из учебника (учебник С. М. Никольского, 6 класс).из учебника

 

Деление десятичной дроби на натуральное число выполняется так же, как и деление натуральных чисел, но после окончания деления целой части десятичной дроби надо в частном поставить запятую.

 

 

 

 

 

 

 

Десятичная дробь. Часть 6. Сложение положительных десятичных дробей.

После того, как мы научились сравнивать десятичные дроби по разрядам, научиться складывать и вычитать десятичные дроби будет несложно. Ведь это тоже делается по разрядам. Опять напоминаю, пока мы говорим только о положительных десятичных дробях, об их сложении и вычитании.

Что нам нужно, чтобы разряды не «сместились»? Правильно, нам нужно, чтобы запятые находились одна под другой.

Так же как и при сравнении десятичных дробей, нужно уравнять количество разрядов, то есть сделать так, чтобы у обеих дробей после запятой было одинаковое количество знаков.

Сложение десятичных дробей

 Рассмотрим на конкретном примере. Нам нужно сложить две десятичные дроби: 0,678 и 13,7.

1. Уравняем количество знаков (разрядов) после запятой.

2. Складываем, как если бы у нас не было запятой, как будто мы складываем целые числа. В сумме (в ответе) запятую ставим по линии границы между целой и дробной частями, то есть запятая должна стоять строго под запятыми двух дробей, которые мы складывали (см. рисунок).

десятичных дробей

Примечание:

нули_сложение
Если в сумме (в ответе)  в результате сложения у нас будут нули в конце дробной части (в последних разрядах дробной части), то мы можем просто отбросить их.

 

 

Десятичная дробь. Часть 5. Сравнение положительных десятичных дробей.

.jpg

 

Удобно сравнивать положительные десятичные дроби с одинаковым количеством разрядов (знаков) после  запятой.

Поэтому сначала уравниваем количество знаков после запятой ( то есть в дробной части), а уже потом начинаем сравнивать. Еще раз напоминаю, что пока мы говорим только о положительных десятичных дробях.

Уравниваем количество знаков после запятой:

Допустим, нам даны две десятичные дроби: 39,7 и 39,719

десятичных дробей_2

Сколько знаков после запятой не хватает у дроби 39,7? Двух знаков, мы обозначили их точками. Если этих знаков нет, это означает что эти разряды (сотые и тысячные) пусты. Впишем туда нули, чтобы показать, что разряды пусты и в них нет единиц. И тем самым уравняем количество знаков после запятой.

десятичных дробей_3

Теперь количество знаков после запятой (в дробной части) одинаково и можно приступать к сравнению.

 

 

Сравниваем десятичные дроби:

Дроби нужно сравнивать поразрядно, то есть сравнивать один разряд за другим. Сначала сравниваем разряды целой части, затем разряды дробной части.

Проще сравнивать, если дроби записаны одна под другой. При этом нужно следить, чтобы запятые «совпали» (то есть запятые двух дробей находились одна под другой). Ведь запятая — это граница целой и дробной частей. Если будут стоять по-разному, то и разряды будут сдвигаться. Нельзя нарушать границу.

десятичных дробей_разряды

Сейчас, когда в наших двух дробях одинаковое количество знаков (разрядов) после запятой, мы можем начать их сравнивать. Поразрядно (то есть по разрядам).

 

 

 

десятичных дробей_разрядыСначала сравним разряды целой части. Их у нас два — десятки и единицы. Сравнили десятки. В обеих дробях по три десятка. Сравнили единицы. В обеих дробях по девять единиц. Какой делаем вывод? Целые части этих двух дробей равны. Значит, пока мы не можем сказать какая дробь больше.

Но если бы у одной их этих дробей целая часть оказалась бы больше, чем у другой, то на этом сравнение можно было бы и закончить. И так понятно, что больше будет та дробь, у которой целая часть больше.

десятичных дробей_сравниваем десятые

А мы продолжаем сравнивать. Разряды целой части сравнили, принимаемся за разряды дробной части. Сначала сравним десятые. Сколько у нас десятых в первой дроби? Семь. А во второй? Семь. Значит, пока мы не можем сказать, какая дробь больше.

Если бы у одной из дробей было бы больше десятых в дробной части, то мы могли бы завершить на этом наше сравнение. Больше была бы та дробь, у которой больше десятых (при том, что целые части у них равны, так как 39=39).

десятичных дробей_сравниваем сотыеИтак, целые части у нас равны, десятые в дробной части равны. Проверим сколько у нас сотых в дробной части. В одной дроби у нас нуль сотых, во второй — одна сотая. 1>0, как известно. Следовательно, больше будет та дробь, в которой больше сотых, ведь предыдущие разряды равны. На этом мы можем прекратить сравнение и сделать вывод, что дробь 39,719 > дроби 39,7. Обратите внимание, что нули после сравнения, можно отбросить. Их сохраняют только в случае, когда нужно подчеркнуть точность (например, когда мы что-то измеряем).

Но в случае, если бы у нас и сотые оказались равны, мы бы сравнивали  тысячные, десятитысячные и далее поразрядно.

Примеры выложу ниже.

Определения из учебника, вдруг понадобятся (учебник С. М. Никольского, 6 класс).из учебника

 

В дробной части десятичной дроби можно приписать справа нули — получится дробь равная данной.

Если в дробной части десятичной дроби имеются справа нули, то их можно отбросить — получится дробь равная данной.

Из двух десятичных положительных дробей больше та, у которой целая часть больше; при равенстве целых частей больше та дробь, у которой цифра разряда десятых больше; при равенстве целых частей и цифр разряда десятых больше та дробь, у которой цифра разряда сотых больше и так далее.

Пример_1

десятичных дробей_пример1

Пример_2

десятичных дробей_пример2

Пример_3

десятичных дробей_пример 3

 

Десятичная дробь. Часть 3. Конечная или бесконечная?

Итак, теперь мы должны научится производить с  десятичными дробями такие же действия, как и с обыкновенными дробями: научимся их сравнивать, складывать, вычитать, умножать и делить. На первом этапе мы должны помнить, что все эти действия мы будем выполнять с конечными десятичными дробями.

Для этого нам надо понять, что же такое конечные десятичные дроби и бесконечные десятичные дроби.

Конечная десятичная дробь — это дробь, у которой после запятой стоит конечное число цифр.

Бесконечная десятичная дробь — это дробь, у которой после запятой стоит бесконечное число цифр.

О бесконечных дробях мы поговорим чуть позже. Но для начала нам нужно научится определять какая десятичная дробь получится из обыкновенной дроби — конечная или бесконечная?

.jpg

Обыкновенную дробь можно перевести в конечную десятичную дробь, если её знаменатель раскладывается только на множители 2 и 5 (которые могут повторяться).

действий

Этап 1. Возьмем обыкновенную дробь

$$ \frac{11}{40} $$

Этап 2. Разложим знаменатель этой дроби на простые множители.

знаменатель сорок

Здесь простые множители содержат только числа 2 и 5 (двойка повторяется, но это разрешено правилом).

 

 

 

 

Мы можем также записать это:

в простых множителях           или        в простых множителях со степенями

И тогда мы получаем:

сорок в виде дроби     или    сорок в виде дроби со степенями

Этап 3. Переведем нашу обыкновенную дробь в десятичную

Как это сделать? Ведь знаменатель дроби — число 40, а мы знаем, что у десятичных дробей знаменателем должен равняться 10, 100, 1000 и так далее (то есть одной из степеней числа 10).

Воспользуемся основным свойством дроби, оно гласит, что если мы умножим и числитель, и знаменатель дроби на одно и то же число, то получится дробь, равная той, которую мы умножили.

Подумаем, на что мы должны умножить число 40. Мы понимаем, что знаменатель 100 у нас не получится, значит, нужно умножить 40 на 25 и мы получим 1000.

Согласно основному свойству дроби, которое мы написали выше, если мы умножили знаменатель на 25, то и числитель мы тоже должны умножить на 25.  Умножаем 11 на 25 и получаем 275.

Итак, мы получили дробь

$$ \frac{275}{1000} $$

Теперь нам нужно только записать её в виде десятичной дроби. Как это сделать мы рассмотрим в следующей части.

А сейчас рассмотрим пример, когда знаменатель дроби показывает нам, что конечной десятичной дроби у нас не получится.

Этап 1. Возьмем обыкновенную дробь

$$ \frac{7}{15} $$

Этап 2. Разложим знаменатель этой дроби на простые множители.15

Здесь один из простых множителей — это число 3 . Можно и не продолжать дальше —  и так понятно, что здесь может быть только бесконечная десятичная дробь.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Десятичная дробь. Часть 2. Определение десятичной дроби

Десятичная дробьэто дробь, у которой знаменатель является степенью числа 10 и которую записывают в более простой форме, не записывая знаменатель, а отделяя целую и дробную часть друг от друга запятой (определение из учебника математики за 6 класс С.М. Никольского).

Теперь нам нужно понять как получается десятичная дробь.

Давайте на минутку вернемся к обыкновенным дробям и вспомним, что такое черта, которая разделяет числитель и знаменатель (дробная черта). Это знак деления. Как мы помним, любую обыкновенную дробь мы можем записать тремя способами: Продолжить чтение «Десятичная дробь. Часть 2. Определение десятичной дроби»