Координатный луч

Прямая линия бесконечна в оба конца. И на ней очень удобно изображать числа. Давай разберемся как это делать.

Начертим на листе бумаги в клетку прямую линию.

IMG_3773

Отметим на ней точку, которую назовем начальной и обозначим буквой О.

IMG_3774

Эта точка разделит нашу прямую на две части. Такие две части прямой называются лучами. И они тоже бесконечны, как и прямая. Один идет до бесконечности вправо, другой до бесконечности влево. Мы с тобой будем сейчас работать только с тем лучом, который идет вправо.

IMG_3775

На нем располагаются положительные числа, то есть числа больше нуля (есть еще и отрицательные, но о них мы будем говорить немного позже, поэтому луч на котором отрицательные числа расположены, мы сделаем невидимым).

IMG_3776

И начнем работать с правым лучом.

IMG_3777

Теперь отступим от точки О вправо на одну клетку, поставим точку и напишем под ней 1 (ведь мы сделали только один шаг).

IMG_3778

Потом отступим еще на одну клетку, опять поставим точку и напишем цифру 2 (теперь мы сделали два шага) и так далее. Конечно же, мы не можем написать все числа, которые можно уместить на координатном луче, ведь он бесконечен, значит, и количество шагов, которое мы можем сделать, тоже бесконечно. Но мы можем написать их столько, сколько их поместиться на тетрадном листе (пишем постепенно,  то есть делаем шаг и под новой точкой записываем, сколько же шагов мы уже сделали).

IMG_3779

Обрати внимание, я букву О перенесла и записала над точкой, а под ней тоже записала количество шагов, которое мы сделали, чтобы достичь этой точки. Это ноль шагов. Это начало, мы еще никуда не пошли.

 Дальше я буду писать букву O красным. То есть красным будем писать название буквы O, а синим под ней количество шагов, то есть ноль. Можно было бы выбрать другую букву, так как O похожа на ноль, но для того, чтобы обозначить начало отсчета шагов по лучу чаще всего во всех учебниках используют именно букву О, поэтому давай будем придерживаться общего правила. Эту точку также называют «начало координат».

IMG_3782

Получается, что у каждой точки на луче есть свой номер, свой адрес? Да. Это количество шагов, которое мы сделали по лучу вправо, чтобы достичь этой точки. Это количество шагов называется координатой точки. А сам луч именно потому и называется координатным, потому что на нём записаны координаты точек. Еще раз повторим – буквы (большие латинские, например, A,B,C,F,G, H  и другие) – это имена (названия) точек. А цифры под ними – это координаты точек. Не путай. Обычно точку записывают так: сначала пишут ее имя (название), а потом в скобках указывают координату. Посмотри на рисунок. Давай запишем, какие точки у нас изображены.

IMG_3781

A(7); B(13);F(18)

И наоборот. Предположим, нам написали точки с координатами и просят их отметить на координатном луче. Например, F(4), E(7), G(12)

Что мы делаем?

Чертим луч с точкой О в начале (это начало отсчета или начало координат).

IMG_3782

Выбираем единичный отрезок. Пусть он будет 2 клетки. И делим на такие отрезки наш луч.

IMG_3783

Теперь смотрим на координаты точек.

F(4). Делаем 4 шага от ноля (то есть отсчитываем 4 единичных отрезка) и отмечаем точку  F(пишем ее название над точкой). Под точкой пишем ее координату.

IMG_3786

E(7) Делаем 7 шагов от ноля (то есть отсчитываем 7 единичных отрезков) и отмечаем точку  E (пишем ее название над точкой). Под точкой пишем ее координату.

IMG_3788

G(12) Делаем 12 шагов от ноля (то есть отсчитываем 12 единичных отрезков) и отмечаем точку G(пишем ее название над точкой). Под точкой пишем ее координату.

IMG_3789

Какую еще важную вещь мы можем отметить? Мы всегда делали шаг длиной в одну клетку. То есть наши шаги по координатному лучу всегда были одинаковыми. И это очень важно. Предположим, тебя попросили измерить шагами длину тротуара. Если ты сначала пойдешь мелкими шажками, а потом будешь идти широкими шагами и скажешь, что насчитал 25 шагов, твои измерения не будут верными, ведь шаги были разными.

Важно, чтобы шаги всегда были одинаковыми. Поэтому, если уж мы выбрали шаг длиной в одну клетку, то мы так и будем шагать 1 клетку. Такие одинаковые шаги называются единичными отрезками. Почему единичными? Потому что мы каждый такой отрезок принимаем за какое-то количество единиц.Сейчас мы с тобой решили, что у нас 1 единичный отрезок обозначает одну единицу (но как мы увидим дальше, 1 единичный отрезок может обозначать и большее количество единиц).

Всегда ли мы должны рисовать единичный отрезок размером в одну клетку? Не самый удобный размер, особенно в тетради, не очень удобно писать большие числа рядом, ведь иногда координатой точки может быть не только однозначное, но и двузначное и трехзначное число, тяжело, уместить такой «адрес» под точкой, если у тебя для этого всего одна клетка, попробуй и сам увидишь. Но мы же можем взять отрезок равный двум клеткам, трем клеткам, четырем клеткам и так далее. И скажем себе: «Я беру отрезок равный двум клеткам, пусть он обозначает единицу». Но как ты можем увидеть на рисунке, чем длиннее единичный отрезок, тем меньше чисел мы можем записать на нашем координатном луче. Посмотри, когда единичный отрезок был равен 1 клетке, мы записали числа от 0 до 28. Когда он был равен 2 клеткам, от 0 до 15 так далее. То есть ты всегда должен подумать, сколько чисел ты должен уместить на луче.

IMG_3780

Если же нам нужно вместить как можно больше чисел на координатный луч, мы можем брать единичный отрезок меньше 1 клетки, например, половину клетки и даже меньше.

Но ЗАПОМИНАЕМ: все единичные отрезки на одном координатном луче должны быть одной длины.

Как выбрать единичный отрезок?

Предположим, нам дали задание отметить на координатном луче точки со следующими координатами: А(100); В(200); С(500). Как нам это сделать? Посмотри на тетрадный лист. Можешь, конечно, пересчитать, но и так понятно, что клеток меньше ста. Как поступим?

Все не так сложно. Если до этого мы считали, что единичный отрезок равен 1, то почему мы не можем сказать: «А в этот раз мы будем считать, что единичный отрезок равен 100 единицам». И выберем любую длину отрезка, которая нам удобна. Пусть это опять же будет 2 клетки. Итак, один единичный отрезок длиной две клетки, мы считаем равным 100 единицам (мы еще можем сказать, что один наш шаг на координатном луче равен 100 единицам, вот шагнули мы и сразу сто единиц прошли). И тогда мы легко можем отметить точки, которые от нас требуют.

Итак, если тебя попросили отметить точки на луче, то ты должен продумать два вопроса:

  1. сколько единиц будет обозначать единичный отрезок (1 единицу, 5 единиц, 10 единиц, 15 единиц и так далее)
  2. Какой длины будет свой единичный отрезок (1 клетка, 2 клетки и так далее). Ведь если тебе, например, нужно отметить точки A (5000), B(6000), C(7000) D(8000), то понятно, что лучше не брать отрезок размером 1 клетку. Тебе будет неудобно записывать координаты точек, разумнее взять отрезок длиной 2 или даже 3 клетки.

И давай определимся, какая точка у нас будет правее на координатном луче?

Предположим, на координатном луче имеются две точки: А(123) и В(1123). Какая из них будет расположена правее? Конечно же, та, до которой мы сделали большее количество шагов по координатному лучу. То есть точка В(1123). То есть правее будет та точка, у которой больше координата.

Параллельные координаты, алгебраическое сложение и тореадоры.

Не могу сказать, что я использую этот метод как основной, но рассмотреть с детьми бывает интересно. Надеюсь, пригодится.

Показал мне этот способ друг моего отца — дядя Юра, бессменный участник всего дачного «образовательного безобразия», как он сам называл этот процесс. Математика, история, география, можно было подойти с любым вопросом и терпеливо выслушав «Нынешнее поколение — это совсем не то!», получить ответ.
Продолжить чтение «Параллельные координаты, алгебраическое сложение и тореадоры.»

Как «вынести минус»?

Давно ничего не писала и хотела писать совсем о другом, но попросили объяснить быстро алгебраические дроби. Я быстро не могу, вы знаете. Спросила, с чем конкретно помочь. Оказалось, не понимает как «выносить» минус и менять слагаемые в скобках местами. Переодически объясняю детям, но сейчас  ВПР и надо было «ещё вчера». Заодно и сюда решила написать, не знаю  почему, но тема с минусом возникает постоянно.

Диалог выглядел с ребенком так:

—  Здесь можно сократить, правда?

—  Ну… тут знаки разные, надо тогда этот, как его, минус выносить.

—  Давай вынесем.

—  Там сложно.

—  Сложно?

—  Ну … там, короче, надо вынести минус. Берем минус, ставим, и там знаки все меняются в скобках. Но там …это…. Там то минус, то плюс, вообще непонятно от чего зависит. То есть когда просто в скобках плюс, то понятно, ставишь там перед скобками минус и всё, сразу всё меняется. А вот если не плюс, или там просят буквы эти местами поменять.

—  Но здесь понятно? Здесь же  + (a+b).

—  Ну да, здесь легко. Берешь минус, выносишь и ставишь перед скобкой первой и в скобках минус сразу. То есть здесь вот тогда будет — (a — b)

—  Точно будет — (a — b)?

— Да, знак поменяется. Мы поэтому минус и выносим, чтобы он поменялся.

— Он так меняется? Уверен?

— Ну да.

—  А если мы раскроем скобки и проверим? Мы получим снова + (a+b)?

— Не, а зачем проверять? Там точно минус должен быть. Потому что ставишь минус перед скобками, и он меняет знак в скобках сразу.

—  Хорошо. А где ты его берешь?

— Кого?

—  Ты сказал «берем минус и ставим перед скобкой». Минус. Где ты его взял?

— Ну как… из скобок.

— Давай посмотрим на скобки. Где он?

Ребенок озадачено смотрит на скобки.  На + (a + b).

— Не… ну, мы берем минус и ставим перед скобкой, да.

— Это я поняла. А откуда берем? Ты ведь говорил, что мы выносим минус из скобок?

— Из скобок. У нас там получилось — (a — b), видишь. Вот мы этот минус и вынесли.

—  Но ведь этот минус в скобках получился у нас уже после? Когда мы уже поставили минус перед скобками и знаки поменялись. Как же мы могли его вынести? Там был плюс. И если ты заметил, знак у тебя поменялся почему-то только у b

— Почему только у b? Это же их общий знак, он между ними стоит. 

— Понятно. И минус мы берем ниоткуда? Вынули минус из кармана и поставили перед скобкой?

— Нет, он из скобок.

— Но там плюс.

— Ну да… а откуда мы его берем?!!

И на этом мы принялись изучать алгебраическое сложение (см. предыдущий пост). А потом разбирались:  откуда же взялся минус?

-a = (-1) · (+a)

-b = (-1) · (+b)

-a = (+1) · (-a)

-b = (+1) · (-b)

+a = (+1) · (+a)

+b = (+1) · (+b)

+a = (-1) · (-a)

+b = (-1) · (-b)

Вот так мы можем разложить каждое число. Не только а и не только b,  и не только -a и -b, как полагают многие дети. Подставьте на место этих букв любые другие (если вы работаете с буквами). Например, с.

-c = (-1) · (+c)

-c = (+1) · (-c)

+c = (+1) · (+c)

+c = (-1) · (-c)

Подставьте числа (если у вас в выражении не буквы, а числа). Например, 12.

-12 = (-1) · (+12)

-12 = (+1) · (-12)

+12 = (+1) · (+12)

+12 = (-1) · (-12)

Да, вы имеете полное право тяжело вздохнуть и спросить: «И зачем это? Ведь очевидно, что a и b можно заменить на любые числа и буквы». Могу сказать только одно, вы не представляете, скольким детям (иногда и взрослым) это неочевидно и на вопрос: «Как мы можем представить -15? Видишь мы с тобой тут писали пару минут назад, что — а можно представить в виде произведения», тебе отвечают: «Не знаю… ну, то есть я знаю, что мы можем -а представить, но вот -15…даже не знаю. А как представить?»

Давайте начнем с примера, который я написала выше. Предположим, у вас есть выражение a + b, оно заключено в скобки. И перед скобками стоит знак плюс. А вам очень нужно по каким-то причинам, чтобы перед скобками стоял знак минус, а в скобках знаки букв или чисел стали другими. Проще говоря, вам нужно «вынести минус». Как поступим?

Да, я знаю, можно умножить на минус единицу. Но часто после этого как раз и происходит, что + (a + b) превращается в — (a — b).  Знак первого слагаемого «теряется».

Поэтому сделаем так. Возьмем уже упомянутое + (a + b) и поменяем в нем знак (вынесем минус). Для этого мы возьмем каждое из слагаемых (каждое число в скобках) и представим его в виде двух множителей, например:

представим а как (-1) · (-a), ведь два отрицательных числа дадут нам в итоге положительное, верно? Представим b как (-1) · (- b) и посмотрим, что нам с этим делать. Расписывать подробно не буду, в качестве иллюстрации использую «памятки», которые ребенок делал для школы.

Кстати: не забывайте, что плюс перед скобкой — это (+1) и когда мы «выносим» минус (то есть минус единицу — общий множитель), то нам нужно их перемножить. Именно результат этого умножения (+1) · (-1) дает нам знак перед скобкой (см. рисунок ниже).

minus_3

Теперь рассмотрим вариант + (a — b), но мы же помним, что на самом деле в скобках не разность, а алгебраическая сумма  + ((+a) + (- b)). Если не помним, то смотрим ещё раз пост про алгебраическое сложение. Каждое из слагаемых этой суммы мы представим в виде произведения.

(+а) как произведение (-1) и (-а)

(-b) как произведение (-1) и (+b)

minus_4

Теперь рассмотрим вариант — (a + b),  мы помним, что в скобках алгебраическая сумма — ((+a) + (+ b)).  Каждое из слагаемых этой суммы мы представим в виде произведения.

(+а) как произведение (- 1) и (- а)

(+b) как произведение (-1) и (- b)

minus-5

И еще один вариант — (a — b),  мы помним, что в скобках алгебраическая сумма — ((+a) + (- b)).  Каждое из слагаемых этой суммы мы представим в виде произведения.

(+а) как произведение (- 1) и (- а)

(- b) как произведение (-1) и (+ b)

minus_1

Возможно этот способ подойдет не всем, ну, что могу сказать, есть много других. Он кажется немного сложным, но после небольшой практики, все эти действия (разложение чисел) можно легко выполнять в уме. Главное, понять суть.

 

 

 

 

Алгебраическая сумма и разность (для родителей)

для Ирины

«И какой тут знак тогда?» — возмущенно сказал один из моих учеников, когда уже после урока английского, у нас зашла речь о его домашнем задании по математике. Он собирал свой комплект Starlight, и неожиданно выпала тетрадь по математике. «Ещё математика же!» — яростно воскликнул ребенок, который как раз описывал мне, сколько ему на сегодня и на завтра задали (чтобы избежать диктанта на следующем уроке, я так подозреваю). «А что математика?» — спросила я. «Ну вот же!» — он раскрыл тетрадь и ткнул пальцем в задание. «Приведите подобные слагаемые. Я вообще не понимаю, реально. Я сложил, учительница говорит, нет, здесь минус должен быть, а сама говорит, что подобные слагаемые складываются. Я её спрашиваю, они складываются? Да, говорит, всё правильно, складываются, поэтому здесь будет минус. Ничего не понял. Вот здесь пример. И какой тут знак тогда?» Продолжить чтение «Алгебраическая сумма и разность (для родителей)»

Старинный способ умножения (для родителей)

Про Египет уже писала, про Древний Рим пока не собралась… Попросили объяснить подробнее старинный способ умножения из книги «Вечера занимательной арифметики». Как смогла 🙂

Не буду сейчас рассказывать ни об «Уставе ратных дел», ни о «Сошном письме» и не буду сравнивать этот способ с теми, которые использовались в то время в других странах. Просто объясню сам способ (им пользовались до восемнадцатого века). Он основан на сложении и вычитании и на «удвоении» и «раздвоении», то есть на увеличении числа в два раза и его делении пополам (было время, когда эти два действия считались самостоятельными).

Итак, что мы делаем? Предположим, нам нужно умножить 32 на 15.  Для этого разделим пополам множимое (сейчас мы чаще говорим «первый множитель») и умножим на 2 множитель (сейчас мы чаще говорим «второй множитель»).  Непонятно? Продолжить чтение «Старинный способ умножения (для родителей)»

Неравенство треугольника (для родителей)

Для Лены.

Сначала то, что нужно срочно. Показать что длина одной стороны треугольника будет меньше, чем сумма двух других сторон, можно просто при помощи полосок бумаги (разрежь листок в клетку). Берешь задачник по геометрии и нарезаешь полоски такого размера, как там указано (можешь составить примеры сама).  У меня в крупную клетку, другого листа нет сейчас под рукой. Но суть не изменится, можно взять палочки деревянные, пластиковые трубочки для напитков, что есть под рукой.

Например, у тебя длина одной стороны равна 13 см, а длины двух других — шесть и четыре сантиметра.

Пусть попытается составить из них треугольник и убедится, что составить треугольник невозможно. Концы отрезков (сторон) просто не «сойдутся», не дотянутся друг до друга. Но это что касается демонстрации.

WhatsApp Image 2

Теперь про объяснение. Расстояние я обозначаю при помощи ||, потому что так оно обозначается в нашем учебнике и так привычнее. Можно писать просто AC, АВ и так далее (в большинстве учебников именно так). Продолжить чтение «Неравенство треугольника (для родителей)»

Умножение в Древнем Египте

Как умножить 67 на 2. Навеяно обсуждением в математическом сообществе Facebook. Без двоичной системы напишу, хорошо?

Все значки, которые использовали в Египте рисовать не буду, рассмотрим три из них:

IMG_2324

Продолжить чтение «Умножение в Древнем Египте»

«Францисканские шахматы» (или «Ритмомахия», «Битва чисел» и «Игра философов»)

«Францисканскими шахматами» называл эту игру мой знакомый, который, собственно, и научил меня в неё играть. Теперь у меня игра из картона, все собираюсь сделать фигуры и поле из дерева, и никак не соберусь. Приходится обновлять каждое лето, а что делать, дольше картон не живет. Поэтому на фото игра уже потрепана за июнь.

В жизни был такой период, когда было не до настольных игр. И вспомнила я о ней, когда дети уже пошли в школу.

Продолжить чтение ««Францисканские шахматы» (или «Ритмомахия», «Битва чисел» и «Игра философов»)»

Занимаемся на даче. «Песочный циркуль» и «треугольник на палочках».

Для Эльвиры (обсуждаем вот здесь).

В продолжение нашего разговора.

IMG_2155

Рисунок на скорую руку. Да он и не нужен в принципе.  Названия «песочный циркуль» в интернете нет, это название ему дали дети в нашей конкретной компании. Такие штуки использовались в школе в двадцатые годы, когда не хватало инструментов, мне бабушка про него говорила. Берете шнур, две палки (концы по возможности заострить). Связываете шнуром (веревкой). Циркуль готов. Можете рисовать в любой песочнице. Радиус регулируется подкручиваем шнура, резинки, веревки, что у вас есть? Способов сделать самодельный циркуль в классе много, а для улицы я других быстрых решений не знаю, к сожалению. «Небыстрые» требуют болтов и прочего.

Для асфальта мы его тоже использовали, единственная сложность — рисовать аккуратно, чтобы мел не ломался быстро.

Что касается 30 человек… да, задача непростая. Можно дать информацию и разбить на группы, чтобы они могли опробовать разное, например, Древний Египет — это ведь не только измерение треугольниками. Пусть обменяются опытом. Мы все лето фиксировали свои события на ватман (был привезен совершенно для других целей, пришлось пожертвовать). Каждый день — это окошко, в нем рисунок. К окошку приклеивали ставни, на них записывались впечатления. Сейчас все это спокойно можно сделать в презентации (как показала Елена), просто у нас такой технической возможности не было тогда.

Про треугольник даже не знаю что писать… думала, что это общеизвестная вещь. Вероятно, вы просто знаете её под другим названием. Опишу. Берете три палочки (колышка) и веревку, у которой связаны концы (лучше резинку, если помните мы в детстве такую натягивали, чтобы прыгать). Длина зависит от ваших нужд и размера площадки, которую собираетесь мерить. Втыкаете три палочки, натягиваете веревку (резинку). Для того, чтобы разметить где именно должны быть палочки и нужен циркуль.  Да, сейчас в тетрадке легко, на улице все не так быстро. Получаете треугольник. Сначала можно любой (чтобы объяснить сам принцип), но для измерения нужен прямоугольный. Делаете из двух картонных планок прямой угол, чтобы можно было проверить треугольник на улице, или может быть у вас в классе есть учебный угольник для доски, можно взять его на улицу. У меня не было, я делала из картона, просто отрезала две полоски от коробки, в которой привезли вещи на дачу. Если размер картона позволяет можно просто вырезать треугольник целиком.

Так при помощи прямоугольных треугольников египтяне когда-то измеряли земляные участки (думаю, как именно измеряли,  помните из курса истории математики). Здесь может возникнуть вопрос о градусах, минутах и секундах, но здесь ничего сложного быть не должно, градус такая же мера измерения как и все остальные. В принципе его объяснение ничем не отличается от объяснения того же сантиметра. Можно объяснить причем здесь минуты и секунды и что они не имеют отношения ко времени.

Если есть вопросы, пишите.

 

Обыкновенные дроби_2. Упражнение «Поймай дробь!» (или дробь равная данной)

Продолжаем разговор! Так ведь, кажется, говорил «мужчина в самом расцвете сил»? Опять о дробях (и ещё будет :).

Если вы только начинаете изучать дроби, то можно сделать игровое поле, используя равные дроби из таблицы умножения (вот здесь). Если вы уже «продвинутый пользователь», можно взять большее количество.

Делается игровое поле очень просто. Предположим, вы хотите сделать поле для 4 игроков. Берете листок бумаги и выписываете четыре дроби, например, одна вторая, одна третья, одна четвертая, одна пятая. Вы же помните как образуется дробь равная данной? Да, основное свойство дроби: умножаем и числитель, и знаменатель на одно и то же число и получаем дробь равную данной. То есть вы берете одну вторую и последовательно умножаете числитель и знаменатель на одно и то же число, на 2, на 3, на 4, на 5, на 6 …ну, до 25, например. Можете и больше, по желанию. Когда все четыре дроби «обработаны», рисуете поле и выписываете  полученные дроби в любом порядке. Поле готово.

Поле на фото мы использовали для пяти игроков, играли на даче (у нас большинство таких упражнений было придумано во время летних занятий на даче). Правила несложные: каждый берет себе одну дробь и на время должен выписать как можно больше равных (на поле выбранные дроби можно зачеркивать карандашом). Кто выписал больше всех и без ошибок — первое место, остальные места распределяются в зависимости от количества безошибочно выписанных дробей 🙂

И картинка. Почему назвали «Поймай дробь!» не помню уже, назвал приятель детей, который приходил играть на даче. И прижилось. Но на картинке оставила  «официальное» 🙂 название.

IMG_2137