Действительные числа

«Строили мы, строили и наконец построили», — как сказал когда-то Чебурашка. Ребенок доделал свою памятку по действительным числам. Осталось еще кое-что вписать в «раскладушки».

«Окошко» под «раскладушкой» обычно оставляем пустым (вдруг захочется еще что-то добавить).

_действительные числа_1

_действительные числа_4

_действительные числа_3

_действительные числа_2

Длина окружности. Увеличим радиус, что будет?

Решали задачу. Попросили выложить. Выкладываю.

Итак, условие задачи: Как изменится длина окружности, если её радиус увеличить в 3 раза?

Решение (на рисунке оно тоже есть, выложу в конце).

С = 2πR = πd

C (новая окружность с увеличенным радиусом) = 2 • π • 3R = π • 6R = π • 3d = 3πd (следовательно длина окружности увеличится в 3 раза)

И поэтапно.

Жила была окружность. Самая обычная.

IMG_1851

Измерим её длину. Не в цифрах, просто, чтобы у нас было на чем показывать решение (значения вы потом можете подставить любые). Можно измерить ниткой или бумажной лентой, как мы делали здесь. Для разнообразия возьмем «шнурок» из пластилина.

IMG_1852

Вот она — длина окружности.

IMG_1853

«Разрежем» нашу окружность.

IMG_1854

И как мы уже делали вот в этом посте, разделим ее длину на три диаметра и небольшой «хвостик». Мы же знаем, что в длину окружности диаметр умещается примерно 3,14 раза (число π), то есть в длину любой окружности умещаются примерно три диаметра этой же окружности и еще примерно 14 сотых диаметра это же окружности. На самом деле больше 14 сотых. Ведь есть еще тысячные, десятитысячные и продолжать это дробление можно бесконечно, мы же помним, что π — иррациональное число. Но обычно мы округляем его до 3,14 (округляем до сотых). Поэтому  и можем сказать, что умещается примерно 3 диаметра и 14 сотых частей диаметра.

IMG_1857

Разделили.

IMG_1858

Мы же помним, что диаметр равен двум радиусам? А ведь увеличивать нам придется именно радиус. Как нам его получить? Разделим диаметр на две равные части.

IMG_1864

Разделили.

IMG_1865

Продолжить чтение «Длина окружности. Увеличим радиус, что будет?»

Десятичная дробь. Часть 14. Деление положительной десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и так далее.

Пост все равно получился длинным, но что поделаешь.

Итак, умножение мы обсудили здесь. Перейдем к делению. Также как и в случае с умножением, у нас возникает вопрос: в чем дело? Я делю, казалось бы, дроблю число на части, а в результате получаю большее число.

Давайте вспомним, что такое деление. Это сокращенная запись вычитания. Можно взять число 15, например, и последовательно вычитать из него 3, до тех пор пока мы не получим нуль.

Рисунок 1

на одну десятутю_1

Но мы не пользуемся только маленькими числами. Если мы решим последовательно вычитать число 3 из числа 333, чтобы понять сколько раз число 3 «помещается» («укладывается») в число 333, то рука устанет писать тройки. Для того, чтобы записать это действие кратко и существует деление. Продолжить чтение «Десятичная дробь. Часть 14. Деление положительной десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и так далее.»

Десятичная дробь. Часть 13. Умножение положительной десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и так далее.

Эта тема тесно связана с тем, что мы уже изучили, с умножением и делением десятичной дроби на 10; 100; 1000 и так далее. Если забыли, вам сюда. Сейчас объясню почему тесно связана.

Умножение числа на 0,1; 0,01; 0,001 и так далее.

Часто возникает вопрос: почему, когда мы умножаем число на 0,1; 0,01; 0,001 и так далее, число становится меньше? Ведь мы же умножаем. При умножении число обычно становится больше, разве нет?

Давайте разберемся. Для этого нужно вспомнить, что такое вообще умножение. Это сокращенная запись сложения. Когда людям надоело писать двадцать пятерок подряд и последовательно их складывать, они решили записывать это кратко.

Предположим, нам нужно умножить пять на пять. Что это  значит?

на одну десятую

Для тех, кто лучше понимает, когда видит не числа, а картинки.

на одну десятую_3

Сначала хотела сделать общий пост, в котором было бы и умножение, и деление на 0,1; 0,01; 0,001. Но получается слишком длинно. Поэтому продолжение следует. О делении в следующем посте.

 

Десятичная дробь. Часть 12. Ещё немного о делении десятичной положительной дроби.

Вопрос вот в чем:

Мы разобрали как делить на 10. А если нужно разделить на 20 или на 250? Давайте подумаем, а нужно ли нам сохранять нуль в делителе (в числе на которое мы делим)?

Предположим, нам нужно разделить десятичную дробь 0,003 на 50. Разве не проще было бы разделить на 5, откинув нуль?

Как это сделать?

Воспользуемся основным свойством дроби, мы его уже много раз использовали и всегда успешно. Оно гласит: «Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь».

Ведь по сути наш пример можно записать не только как:

0,003 : 50,

но и как:

$$ \frac{0,003}{50} $$

Смотри рисунок 1

деления

Как мы помним, дробная черта — это знак деления. Продолжить чтение «Десятичная дробь. Часть 12. Ещё немного о делении десятичной положительной дроби.»

Десятичная дробь. Часть 11. Делим десятичную дробь на десятичную дробь.

.jpg

Нельзя делить десятичную дробь на десятичную дробь! Десятичную дробь можно делить только на натуральное число. И всё.

на десятичную дробь

из учебника

Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь, надо в делимом и в делителе перенести запятую настолько цифр вправо, сколько их после запятой в делителе, и затем выполнить деление на натуральное число.

Десятичная дробь. Часть 10. Деление и умножение положительной десятичной дроби на 10, 100, 1000 и так далее.

Суть проста. Так как десятичная дробь записывается в десятичной разрядной системе, то:

Когда мы умножаем наше число наше число на 10, мы увеличиваем его на 1 разряд, ведь оно становится в 10 раз больше (мы же помним, что все разряды — это степени числа 10).

Когда мы делим наше число наше число на 10, мы уменьшаем его на 1 разряд, ведь оно становится в 10 раз меньше.

на 10 100 итд

 

Десятичная дробь. Часть 9. Деление десятичной положительной дроби на натуральное число.

Алгоритм деления немного сложнее, чем алгоритм умножения. Здесь главное не запутаться с запятой. Главное, что следует помнить, что мы складываем, вычитаем, умножаем и делим по разрядам. В прошлом посте про умножение  не стала это писать, так как это, на мой взгляд, и так понятно.

Например, нам нужно разделить 243,2 на 8.

Что это значит на деле? Что мы вообще делаем при делении? Мы делим числа на определенное количество частей (это касается не только дробных чисел, но и натуральных). И мы разряд за разрядом делим на это количество частей (помним, что количество частей — это делитель, да?).  Сначала делим разряды целой части, а когда они закончатся, ставим запятую (границу между целой и дробной частями) и делим разряды дробной части.

Взяли сотни, попытались разделить, не делится, перешли в меньший разряд и вот у вас уже не две сотни, например, а две сотни и четыре десятка или 24 десятка (Мы ведь понимаем, что 240 единиц = 24 десяткам = 2 сотням 4 десяткам, правда ведь? Мы все-таки столько лет изучали это в начальной школе. Это одно и тоже количество единиц, просто оно выражено в разных разрядах). И если две сотни разделить на 8 неудобно, то 24 десятка разделятся просто. На этом и построен принцип «деления в столбик». Если после всего сказанного, вам все равно кажется, что вы читаете китайскую грамоту, то смотрим на рисунок.

десятичной дроби на натуральное число_1Хотелось бы добавить:

Примечание:
Если в частном (в ответе)  в результате деления у нас будут нули в конце дробной части (в последних разрядах дробной части), то мы можем просто отбросить их. (надеюсь, это вы уже запомнили).

Все вопросы, которые возникают при делении, я предусмотреть не смогу, наверное. Но часто возникает вопрос при делении, если в целой части нуль единиц. Рассмотрим пример:

на натуральное число_2

Хочу сказать еще одну важную вещь, о которой часто забывают. Может быть, вы и не забываете, тогда просто пропустите эту часть. Иногда возникает вопрос, что делать, если разрядов не хватает?

Нужно помнить, что любое число, это не просто цифры, которые висят в воздухе. Если посмотреть с точки зрения геометрии, число — это прямая, уходящая в обе стороны в бесконечность. Предположим, есть у вас число 25, 2. Какие здесь обозначены разряды? Разряды десятков и единиц в целой части и разряд десятых в дробной части. Но это не значит, что других разрядов не существует. Они существуют, просто в них нуль единиц. И поэтому эти разряды мы договариваемся не писать. Это как раз и есть то самое «откидывание нулей». Посмотрите на рисунке.

десятичной дроби на натуральное число_2

Что мы видим на рисунке? Мы видим, что в дроби 25,2  у нас есть два десятка единиц, 5 единиц и 2 десятых единицы. Это разряды, которые для нас видимы. Но еще в этом числе нуль сотен, нуль тысяч, нуль десятков тысяч и так далее ( в целой части) и нуль сотых, нуль тысячных и так далее ( в дробной части). Всех «невидимых» разрядов не перечислишь, они уходят в бесконечность. Мы просто не пишем их («откидываем нули«), в их написании нет смысла. До определенного момента. И вот когда у нас не хватает разрядов для деления, мы можем сказать, что момент настал. Настал момент, чтобы сделать «видимыми» столько разрядов (столько нулей), сколько нам нужно для деления (говоря по-человечески, мы можем дописать столько нулей), сколько нам нужно.

Лирическое отступление: Если снова провести аналогию с геометрией, то когда вы ставите точку на бумаге, она ведь лежит на прямой, верно? И кроме нее на прямой еще есть огромное количество точек (прямая бесконечна). Но вы выделили только одну, обозначив её карандашом на бумаге. Если вам нужно выделить больше точек, вы ставите еще одну точку (выделяете её среди огромного количества других) и проводите отрезок, а отрезок это ведь тоже  какое-то количество точек, которые вы сделали видимыми.

Давайте посмотрим, как дописывание нулей применяют на практике.

десятичной дроби на натуральное число_4

Определение из учебника (учебник С. М. Никольского, 6 класс).из учебника

 

Деление десятичной дроби на натуральное число выполняется так же, как и деление натуральных чисел, но после окончания деления целой части десятичной дроби надо в частном поставить запятую.

 

 

 

 

 

 

 

Десятичная дробь. Часть 8. Умножение положительных десятичных дробей.

Теперь давайте разберемся с умножением. Алгоритм действий в этом случае простой. Рассмотрим его на примере.

Перемножим десятичные дроби 42,6 и 3, 521.

дробей_1

Главное отличие от сложения и вычитания, о котором мы должны помнить: здесь не нужно следить, чтобы запятые дробей располагались друг под другом. Мы можем писать дроби как нам удобно и перемножать их так как мы раньше перемножали натуральные числа (не обращая внимания на запятую).

 

Как же нам тогда понять, где ставить запятую в ответе (где будет проходить граница целой и дробной частей?

См. рисунок 1

дробей_2

Примечание:
Если в произведении (в ответе)  в результате умножения у нас будут нули в конце дробной части (в последних разрядах дробной части), то мы можем просто отбросить их.

Теперь когда мы сформулировали алгоритм, давайте разберемся, почему так происходит. В одной дроби мы так уверенно взяли три разряда, в другой — один, и сложили их, не задумываясь откуда это берется.

Все несложно.

Представим эти же дроби в виде обыкновенных, а не десятичных дробей. И проверим, сколько получается.

См. рисунок 2дробей_3

Определение из учебника (учебник С. М. Никольского, 6 класс).из учебника

 

Чтобы перемножить две десятичные дроби, достаточно перемножить их как натуральные числа, не обращая внимания на запятые, а в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр, сколько их было после запятых в обоих множителях вместе.

 

Десятичная дробь. Часть 7. Вычитание положительных десятичных дробей.

После того, как мы рассмотрели сложение положительных десятичных дробей, добавить можно только одно: десятичные дроби вычитается по похожему  алгоритму.

Рассмотрим на конкретном примере. Допустим, нам надо вычесть из десятичной дроби 19,32 десятичную дробь 6,418.

1. Уравняем количество знаков (разрядов) после запятой.

2. Вычитаем, как если бы у нас не было запятой, как будто мы вычитаем одно целое число из другого. В ответе запятую ставим по линии границы между целой и дробной частями, то есть запятая в разности (в ответе) должна стоять строго под запятыми уменьшаемого (той дроби, из которой мы вычитаем) и вычитаемого (той дроби, которую мы вычитаем).

(см. рисунок).

десятичных дробей

Примечание:

нули_вычитаниеЕсли в разности (в ответе)  в результате вычитания у нас будут нули в конце дробной части (в последних разрядах дробной части), то мы можем просто отбросить их.