Десятичная дробь. Часть 14. Деление положительной десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и так далее.

Пост все равно получился длинным, но что поделаешь.

Итак, умножение мы обсудили здесь. Перейдем к делению. Также как и в случае с умножением, у нас возникает вопрос: в чем дело? Я делю, казалось бы, дроблю число на части, а в результате получаю большее число.

Давайте вспомним, что такое деление. Это сокращенная запись вычитания. Можно взять число 15, например, и последовательно вычитать из него 3, до тех пор пока мы не получим нуль.

Рисунок 1

на одну десятутю_1

Но мы не пользуемся только маленькими числами. Если мы решим последовательно вычитать число 3 из числа 333, чтобы понять сколько раз число 3 «помещается» («укладывается») в число 333, то рука устанет писать тройки. Для того, чтобы записать это действие кратко и существует деление. Продолжить чтение «Десятичная дробь. Часть 14. Деление положительной десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и так далее.»

Десятичная дробь. Часть 13. Умножение положительной десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и так далее.

Эта тема тесно связана с тем, что мы уже изучили, с умножением и делением десятичной дроби на 10; 100; 1000 и так далее. Если забыли, вам сюда. Сейчас объясню почему тесно связана.

Умножение числа на 0,1; 0,01; 0,001 и так далее.

Часто возникает вопрос: почему, когда мы умножаем число на 0,1; 0,01; 0,001 и так далее, число становится меньше? Ведь мы же умножаем. При умножении число обычно становится больше, разве нет?

Давайте разберемся. Для этого нужно вспомнить, что такое вообще умножение. Это сокращенная запись сложения. Когда людям надоело писать двадцать пятерок подряд и последовательно их складывать, они решили записывать это кратко.

Предположим, нам нужно умножить пять на пять. Что это  значит?

на одну десятую

Для тех, кто лучше понимает, когда видит не числа, а картинки.

на одну десятую_3

Сначала хотела сделать общий пост, в котором было бы и умножение, и деление на 0,1; 0,01; 0,001. Но получается слишком длинно. Поэтому продолжение следует. О делении в следующем посте.

 

Десятичная дробь. Часть 12. Ещё немного о делении десятичной положительной дроби.

Вопрос вот в чем:

Мы разобрали как делить на 10. А если нужно разделить на 20 или на 250? Давайте подумаем, а нужно ли нам сохранять нуль в делителе (в числе на которое мы делим)?

Предположим, нам нужно разделить десятичную дробь 0,003 на 50. Разве не проще было бы разделить на 5, откинув нуль?

Как это сделать?

Воспользуемся основным свойством дроби, мы его уже много раз использовали и всегда успешно. Оно гласит: «Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь».

Ведь по сути наш пример можно записать не только как:

0,003 : 50,

но и как:

$$ \frac{0,003}{50} $$

Смотри рисунок 1

деления

Как мы помним, дробная черта — это знак деления. Продолжить чтение «Десятичная дробь. Часть 12. Ещё немного о делении десятичной положительной дроби.»

Десятичная дробь. Часть 11. Делим десятичную дробь на десятичную дробь.

.jpg

Нельзя делить десятичную дробь на десятичную дробь! Десятичную дробь можно делить только на натуральное число. И всё.

на десятичную дробь

из учебника

Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь, надо в делимом и в делителе перенести запятую настолько цифр вправо, сколько их после запятой в делителе, и затем выполнить деление на натуральное число.

Десятичная дробь. Часть 10. Деление и умножение положительной десятичной дроби на 10, 100, 1000 и так далее.

Суть проста. Так как десятичная дробь записывается в десятичной разрядной системе, то:

Когда мы умножаем наше число наше число на 10, мы увеличиваем его на 1 разряд, ведь оно становится в 10 раз больше (мы же помним, что все разряды — это степени числа 10).

Когда мы делим наше число наше число на 10, мы уменьшаем его на 1 разряд, ведь оно становится в 10 раз меньше.

на 10 100 итд

 

Десятичная дробь. Часть 9. Деление десятичной положительной дроби на натуральное число.

Алгоритм деления немного сложнее, чем алгоритм умножения. Здесь главное не запутаться с запятой. Главное, что следует помнить, что мы складываем, вычитаем, умножаем и делим по разрядам. В прошлом посте про умножение  не стала это писать, так как это, на мой взгляд, и так понятно.

Например, нам нужно разделить 243,2 на 8.

Что это значит на деле? Что мы вообще делаем при делении? Мы делим числа на определенное количество частей (это касается не только дробных чисел, но и натуральных). И мы разряд за разрядом делим на это количество частей (помним, что количество частей — это делитель, да?).  Сначала делим разряды целой части, а когда они закончатся, ставим запятую (границу между целой и дробной частями) и делим разряды дробной части.

Взяли сотни, попытались разделить, не делится, перешли в меньший разряд и вот у вас уже не две сотни, например, а две сотни и четыре десятка или 24 десятка (Мы ведь понимаем, что 240 единиц = 24 десяткам = 2 сотням 4 десяткам, правда ведь? Мы все-таки столько лет изучали это в начальной школе. Это одно и тоже количество единиц, просто оно выражено в разных разрядах). И если две сотни разделить на 8 неудобно, то 24 десятка разделятся просто. На этом и построен принцип «деления в столбик». Если после всего сказанного, вам все равно кажется, что вы читаете китайскую грамоту, то смотрим на рисунок.

десятичной дроби на натуральное число_1Хотелось бы добавить:

Примечание:
Если в частном (в ответе)  в результате деления у нас будут нули в конце дробной части (в последних разрядах дробной части), то мы можем просто отбросить их. (надеюсь, это вы уже запомнили).

Все вопросы, которые возникают при делении, я предусмотреть не смогу, наверное. Но часто возникает вопрос при делении, если в целой части нуль единиц. Рассмотрим пример:

на натуральное число_2

Хочу сказать еще одну важную вещь, о которой часто забывают. Может быть, вы и не забываете, тогда просто пропустите эту часть. Иногда возникает вопрос, что делать, если разрядов не хватает?

Нужно помнить, что любое число, это не просто цифры, которые висят в воздухе. Если посмотреть с точки зрения геометрии, число — это прямая, уходящая в обе стороны в бесконечность. Предположим, есть у вас число 25, 2. Какие здесь обозначены разряды? Разряды десятков и единиц в целой части и разряд десятых в дробной части. Но это не значит, что других разрядов не существует. Они существуют, просто в них нуль единиц. И поэтому эти разряды мы договариваемся не писать. Это как раз и есть то самое «откидывание нулей». Посмотрите на рисунке.

десятичной дроби на натуральное число_2

Что мы видим на рисунке? Мы видим, что в дроби 25,2  у нас есть два десятка единиц, 5 единиц и 2 десятых единицы. Это разряды, которые для нас видимы. Но еще в этом числе нуль сотен, нуль тысяч, нуль десятков тысяч и так далее ( в целой части) и нуль сотых, нуль тысячных и так далее ( в дробной части). Всех «невидимых» разрядов не перечислишь, они уходят в бесконечность. Мы просто не пишем их («откидываем нули«), в их написании нет смысла. До определенного момента. И вот когда у нас не хватает разрядов для деления, мы можем сказать, что момент настал. Настал момент, чтобы сделать «видимыми» столько разрядов (столько нулей), сколько нам нужно для деления (говоря по-человечески, мы можем дописать столько нулей), сколько нам нужно.

Лирическое отступление: Если снова провести аналогию с геометрией, то когда вы ставите точку на бумаге, она ведь лежит на прямой, верно? И кроме нее на прямой еще есть огромное количество точек (прямая бесконечна). Но вы выделили только одну, обозначив её карандашом на бумаге. Если вам нужно выделить больше точек, вы ставите еще одну точку (выделяете её среди огромного количества других) и проводите отрезок, а отрезок это ведь тоже  какое-то количество точек, которые вы сделали видимыми.

Давайте посмотрим, как дописывание нулей применяют на практике.

десятичной дроби на натуральное число_4

Определение из учебника (учебник С. М. Никольского, 6 класс).из учебника

 

Деление десятичной дроби на натуральное число выполняется так же, как и деление натуральных чисел, но после окончания деления целой части десятичной дроби надо в частном поставить запятую.

 

 

 

 

 

 

 

Десятичная дробь. Часть 8. Умножение положительных десятичных дробей.

Теперь давайте разберемся с умножением. Алгоритм действий в этом случае простой. Рассмотрим его на примере.

Перемножим десятичные дроби 42,6 и 3, 521.

дробей_1

Главное отличие от сложения и вычитания, о котором мы должны помнить: здесь не нужно следить, чтобы запятые дробей располагались друг под другом. Мы можем писать дроби как нам удобно и перемножать их так как мы раньше перемножали натуральные числа (не обращая внимания на запятую).

 

Как же нам тогда понять, где ставить запятую в ответе (где будет проходить граница целой и дробной частей?

См. рисунок 1

дробей_2

Примечание:
Если в произведении (в ответе)  в результате умножения у нас будут нули в конце дробной части (в последних разрядах дробной части), то мы можем просто отбросить их.

Теперь когда мы сформулировали алгоритм, давайте разберемся, почему так происходит. В одной дроби мы так уверенно взяли три разряда, в другой — один, и сложили их, не задумываясь откуда это берется.

Все несложно.

Представим эти же дроби в виде обыкновенных, а не десятичных дробей. И проверим, сколько получается.

См. рисунок 2дробей_3

Определение из учебника (учебник С. М. Никольского, 6 класс).из учебника

 

Чтобы перемножить две десятичные дроби, достаточно перемножить их как натуральные числа, не обращая внимания на запятые, а в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр, сколько их было после запятых в обоих множителях вместе.

 

Десятичная дробь. Часть 7. Вычитание положительных десятичных дробей.

После того, как мы рассмотрели сложение положительных десятичных дробей, добавить можно только одно: десятичные дроби вычитается по похожему  алгоритму.

Рассмотрим на конкретном примере. Допустим, нам надо вычесть из десятичной дроби 19,32 десятичную дробь 6,418.

1. Уравняем количество знаков (разрядов) после запятой.

2. Вычитаем, как если бы у нас не было запятой, как будто мы вычитаем одно целое число из другого. В ответе запятую ставим по линии границы между целой и дробной частями, то есть запятая в разности (в ответе) должна стоять строго под запятыми уменьшаемого (той дроби, из которой мы вычитаем) и вычитаемого (той дроби, которую мы вычитаем).

(см. рисунок).

десятичных дробей

Примечание:

нули_вычитаниеЕсли в разности (в ответе)  в результате вычитания у нас будут нули в конце дробной части (в последних разрядах дробной части), то мы можем просто отбросить их.

Десятичная дробь. Часть 6. Сложение положительных десятичных дробей.

После того, как мы научились сравнивать десятичные дроби по разрядам, научиться складывать и вычитать десятичные дроби будет несложно. Ведь это тоже делается по разрядам. Опять напоминаю, пока мы говорим только о положительных десятичных дробях, об их сложении и вычитании.

Что нам нужно, чтобы разряды не «сместились»? Правильно, нам нужно, чтобы запятые находились одна под другой.

Так же как и при сравнении десятичных дробей, нужно уравнять количество разрядов, то есть сделать так, чтобы у обеих дробей после запятой было одинаковое количество знаков.

Сложение десятичных дробей

 Рассмотрим на конкретном примере. Нам нужно сложить две десятичные дроби: 0,678 и 13,7.

1. Уравняем количество знаков (разрядов) после запятой.

2. Складываем, как если бы у нас не было запятой, как будто мы складываем целые числа. В сумме (в ответе) запятую ставим по линии границы между целой и дробной частями, то есть запятая должна стоять строго под запятыми двух дробей, которые мы складывали (см. рисунок).

десятичных дробей

Примечание:

нули_сложение
Если в сумме (в ответе)  в результате сложения у нас будут нули в конце дробной части (в последних разрядах дробной части), то мы можем просто отбросить их.

 

 

Десятичная дробь. Часть 5. Сравнение положительных десятичных дробей.

.jpg

 

Удобно сравнивать положительные десятичные дроби с одинаковым количеством разрядов (знаков) после  запятой.

Поэтому сначала уравниваем количество знаков после запятой ( то есть в дробной части), а уже потом начинаем сравнивать. Еще раз напоминаю, что пока мы говорим только о положительных десятичных дробях.

Уравниваем количество знаков после запятой:

Допустим, нам даны две десятичные дроби: 39,7 и 39,719

десятичных дробей_2

Сколько знаков после запятой не хватает у дроби 39,7? Двух знаков, мы обозначили их точками. Если этих знаков нет, это означает что эти разряды (сотые и тысячные) пусты. Впишем туда нули, чтобы показать, что разряды пусты и в них нет единиц. И тем самым уравняем количество знаков после запятой.

десятичных дробей_3

Теперь количество знаков после запятой (в дробной части) одинаково и можно приступать к сравнению.

 

 

Сравниваем десятичные дроби:

Дроби нужно сравнивать поразрядно, то есть сравнивать один разряд за другим. Сначала сравниваем разряды целой части, затем разряды дробной части.

Проще сравнивать, если дроби записаны одна под другой. При этом нужно следить, чтобы запятые «совпали» (то есть запятые двух дробей находились одна под другой). Ведь запятая — это граница целой и дробной частей. Если будут стоять по-разному, то и разряды будут сдвигаться. Нельзя нарушать границу.

десятичных дробей_разряды

Сейчас, когда в наших двух дробях одинаковое количество знаков (разрядов) после запятой, мы можем начать их сравнивать. Поразрядно (то есть по разрядам).

 

 

 

десятичных дробей_разрядыСначала сравним разряды целой части. Их у нас два — десятки и единицы. Сравнили десятки. В обеих дробях по три десятка. Сравнили единицы. В обеих дробях по девять единиц. Какой делаем вывод? Целые части этих двух дробей равны. Значит, пока мы не можем сказать какая дробь больше.

Но если бы у одной их этих дробей целая часть оказалась бы больше, чем у другой, то на этом сравнение можно было бы и закончить. И так понятно, что больше будет та дробь, у которой целая часть больше.

десятичных дробей_сравниваем десятые

А мы продолжаем сравнивать. Разряды целой части сравнили, принимаемся за разряды дробной части. Сначала сравним десятые. Сколько у нас десятых в первой дроби? Семь. А во второй? Семь. Значит, пока мы не можем сказать, какая дробь больше.

Если бы у одной из дробей было бы больше десятых в дробной части, то мы могли бы завершить на этом наше сравнение. Больше была бы та дробь, у которой больше десятых (при том, что целые части у них равны, так как 39=39).

десятичных дробей_сравниваем сотыеИтак, целые части у нас равны, десятые в дробной части равны. Проверим сколько у нас сотых в дробной части. В одной дроби у нас нуль сотых, во второй — одна сотая. 1>0, как известно. Следовательно, больше будет та дробь, в которой больше сотых, ведь предыдущие разряды равны. На этом мы можем прекратить сравнение и сделать вывод, что дробь 39,719 > дроби 39,7. Обратите внимание, что нули после сравнения, можно отбросить. Их сохраняют только в случае, когда нужно подчеркнуть точность (например, когда мы что-то измеряем).

Но в случае, если бы у нас и сотые оказались равны, мы бы сравнивали  тысячные, десятитысячные и далее поразрядно.

Примеры выложу ниже.

Определения из учебника, вдруг понадобятся (учебник С. М. Никольского, 6 класс).из учебника

 

В дробной части десятичной дроби можно приписать справа нули — получится дробь равная данной.

Если в дробной части десятичной дроби имеются справа нули, то их можно отбросить — получится дробь равная данной.

Из двух десятичных положительных дробей больше та, у которой целая часть больше; при равенстве целых частей больше та дробь, у которой цифра разряда десятых больше; при равенстве целых частей и цифр разряда десятых больше та дробь, у которой цифра разряда сотых больше и так далее.

Пример_1

десятичных дробей_пример1

Пример_2

десятичных дробей_пример2

Пример_3

десятичных дробей_пример 3