Действительные числа

«Строили мы, строили и наконец построили», — как сказал когда-то Чебурашка. Ребенок доделал свою памятку по действительным числам. Осталось еще кое-что вписать в «раскладушки».

«Окошко» под «раскладушкой» обычно оставляем пустым (вдруг захочется еще что-то добавить).

_действительные числа_1

_действительные числа_4

_действительные числа_3

_действительные числа_2

Десятичная дробь. Примечание к части 3.

Перед тем как мы начнем раскладывать знаменатель важно убедиться, что дробь больше нельзя сократить (если, конечно, от нас не требуют, чтобы мы использовали дробь в таком виде, как нам её дали и не сокращали её).

Пример:

У нас есть дробь

$$ \frac{3}{60} $$

Раскладываем знаменатель:

шестидесятых

Мы видим, что эту дробь невозможно превратить в конечную десятичную дробь.

Но если мы сократим дробь $$ \frac{3}{60} $$

то получим дробь$$ \frac{1}{20} $$

Раскладываем знаменатель:

двадцатая

Эту дробь мы можем превратить в конечную.

Поэтому чтобы не делать ошибок, нужно проверить, сократили мы дробь до конца или можно ещё.

 

Десятичная дробь. Часть 3. Конечная или бесконечная?

Итак, теперь мы должны научится производить с  десятичными дробями такие же действия, как и с обыкновенными дробями: научимся их сравнивать, складывать, вычитать, умножать и делить. На первом этапе мы должны помнить, что все эти действия мы будем выполнять с конечными десятичными дробями.

Для этого нам надо понять, что же такое конечные десятичные дроби и бесконечные десятичные дроби.

Конечная десятичная дробь — это дробь, у которой после запятой стоит конечное число цифр.

Бесконечная десятичная дробь — это дробь, у которой после запятой стоит бесконечное число цифр.

О бесконечных дробях мы поговорим чуть позже. Но для начала нам нужно научится определять какая десятичная дробь получится из обыкновенной дроби — конечная или бесконечная?

.jpg

Обыкновенную дробь можно перевести в конечную десятичную дробь, если её знаменатель раскладывается только на множители 2 и 5 (которые могут повторяться).

действий

Этап 1. Возьмем обыкновенную дробь

$$ \frac{11}{40} $$

Этап 2. Разложим знаменатель этой дроби на простые множители.

знаменатель сорок

Здесь простые множители содержат только числа 2 и 5 (двойка повторяется, но это разрешено правилом).

 

 

 

 

Мы можем также записать это:

в простых множителях           или        в простых множителях со степенями

И тогда мы получаем:

сорок в виде дроби     или    сорок в виде дроби со степенями

Этап 3. Переведем нашу обыкновенную дробь в десятичную

Как это сделать? Ведь знаменатель дроби — число 40, а мы знаем, что у десятичных дробей знаменателем должен равняться 10, 100, 1000 и так далее (то есть одной из степеней числа 10).

Воспользуемся основным свойством дроби, оно гласит, что если мы умножим и числитель, и знаменатель дроби на одно и то же число, то получится дробь, равная той, которую мы умножили.

Подумаем, на что мы должны умножить число 40. Мы понимаем, что знаменатель 100 у нас не получится, значит, нужно умножить 40 на 25 и мы получим 1000.

Согласно основному свойству дроби, которое мы написали выше, если мы умножили знаменатель на 25, то и числитель мы тоже должны умножить на 25.  Умножаем 11 на 25 и получаем 275.

Итак, мы получили дробь

$$ \frac{275}{1000} $$

Теперь нам нужно только записать её в виде десятичной дроби. Как это сделать мы рассмотрим в следующей части.

А сейчас рассмотрим пример, когда знаменатель дроби показывает нам, что конечной десятичной дроби у нас не получится.

Этап 1. Возьмем обыкновенную дробь

$$ \frac{7}{15} $$

Этап 2. Разложим знаменатель этой дроби на простые множители.15

Здесь один из простых множителей — это число 3 . Можно и не продолжать дальше —  и так понятно, что здесь может быть только бесконечная десятичная дробь.