Системы счисления_1. Десятичная система.

Обсуждаем здесь.

Десятичную систему счисления мы все изучаем с детства, она нам привычна и понятна. Вопросы возникают, когда нам нужно перевести число, написанное в десятичной системе счисления, в систему с другим основанием. Меня недавно спросили как я объясняла этот перевод единиц детям, эту тему они проходили в рамках курса информатики.

Объясняла так. Прежде всего, мы рассмотрели, что такое основание системы счисления. Основаниеэто количество значков (цифр или букв), которое мы используем, чтобы записывать числа.

Например, сколько значков (цифр или букв) мы используем в десятичной системе? 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Посчитали? Да, 10 цифр. Основание десятичной системы счисления равно 10.

В двоичной системе счисления? 0 и 1. Два значка (цифры). Основание двоичной системы равно 2.

В шестнадцатиричной? 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. A будет обозначать число 10, B — число 11, C — число 12, D — число 13, E — число 14, F — число 15. Всего значков (цифр и букв) у нас 16 (не забыли про нуль). Основание шестнадцатиричной системы равно 16.

Принцип, я думаю, понятен. Теперь нужно понять, как мы будем использовать эти значки.

Давайте вернемся к десятичной системе, как наиболее понятной. Как мы используем значки этой системы? У нас их 10 штук: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Как же мы используем их, чтобы записать числа? Просто написание этих значков не имеет смысла. Нам нужна система разрядов. И она у нас есть. Мы начинаем её изучение в начальной школе.

Отступление для родителей.

Собственно весь пост написан для родителей, у которых дети учатся дома. Так как школьные учителя всё это знают. Итак, для родителей. Объяснения, которые я здесь пишу, не для детей, а для вас, потому что как это ни странно, но многие взрослые после школы, забывают систему разрядов (вы не забыли? тогда дальше можно не читать). Для взрослых она становится настолько естественной, что большинство искренне не понимает, что тут непонятно родному чаду и что тут вообще объяснять? (да, я тоже плохо помню себя во втором классе). Все, что так очевидно вам, не всегда очевидно ребенку, хотя в школе терпеливо проходят разряды десятичной системы, один за другим. Ребенок может учиться дома, а не в школе, он мог пропустить по болезни, прослушать, ему могла не подойти форма объяснения, ваша задача — помочь. Но если по каким-то причинам ребенок не освоил разряды той системы, которая считается для нас естественной, если он не осознает, что он делает, когда складывает, вычитает, умножает и делит, если для него при делении цифры, которые он делит — это не сотни тысяч, десятки тысяч и так далее, а «делим первую циферку», то объяснить ему остальные системы счисления и много всего другого будет непросто. Если есть проблемы, попробуйте объяснить на счетных палочках или спичках или на рисунке, я напишу позже или можете посмотреть здесь пример со стаканчиками и скитлс. Я имею в виду маленькие разряды, конечно. Большие, с огромным количеством единиц, объясняем по аналогии. Что касается написанных здесь объяснений, то вам только кажется, что вы путаетесь в нагромождениях единиц, десятков единиц и прочих. Возьмите листок бумаги и карандаш. Начертите разрядную таблицу и попробуйте так же разобрать любое число. Только звучит громоздко, на практике все проще.

Сейчас рассматриваем только натуральные числа. Нарисуем таблицу. Или используем специальную заготовку (разрядную рамку), её можно положить на любой лист и писать. Делается очень просто — один раз рисуете разрядную таблицу на листочке в клеточку, по желанию раскрашиваете и наклеиваете на картон. У нас была вот такая (на листочке в клеточку, потому что удобно класть на тетрадный лист).

IMG_1955

Разберем на конкретном примере. У нас есть число 55 342. Разберем это число по разрядам. Смотрим разряды справа налево (⇐), ведь именно так мы проходим их в школе (постепенно), хотя сами числа пишем слева направо (⇒).

Продолжить чтение «Системы счисления_1. Десятичная система.»

Слоги. Слоговая таблица.

Обсуждение здесь. «Родители для родителей. Школьная программа».

Примерно так выглядит заготовка.

IMG_1917

Пример слоговой таблицы, о которой шла речь вот здесь
Там не все гласные, почему-то нет Э и Ё. Но принцип, думаю, понятен. Я рисовала всё от руки, когда дети начали учиться читать, мне так было удобнее. Идея не моя, ей пользовались и пользуются уже много лет, так учила читать своих учеников моя мама, учитель начальных классов.
Когда будете заполнять таблицу, не забудьте, что у нас не будет таких слогов, как «ЖЫ», «ШЫ», «ЧЯ» и «ЩЯ». Эти квадратики просто не заполняете или зачеркиваете. Можно брать не все согласные сразу, а постепенно добавлять, например, сначала берете только глухие или только сонорные. Мы брали все сразу.
Старайтесь не читать, а именно петь слоги. Долго тянете «мммммаааааа», надеюсь, я понятно объяснила, если нет, спрашивайте. Ребенок запоминает слоги и затем выделяет их в словах. Идете по улице, спросите, не видит ли он знакомых слогов? В вывесках, названиях продуктов, номерах машин. Дети любят связывать все знания с реальной жизнью. Изучение таблицы, чтобы не было совсем скучно, мы пытались разнообразить. Например, выкладывали карточки с буквами, так же как в таблице, то есть сверху слева направо гласные и вниз — согласные. Просто, чтобы было привычнее. И соединяли по выбору. Взяла Б и И и пропела «биииии»! Таблица лежала рядом. 
Ещё делала «игру-ходилку». Для этого сделала несколько комплектов согласных, то есть чтобы каждая согласная повторялась 3-4 раза (если один ребенок, наверное, достаточно 1-2 повторений буквы, как пойдет) и наклеила их на бумагу. Сделала двенадцатигранник с гласными (развёртки в интернете на любой вкус). Кидали его и читали слог, который выпавшая на «кубике» гласная образовывала с согласной, на которой стоит фишка. Прочитала, переходишь дальше. Не прочитала,  остаешься на месте (можешь воспользоваться таблицей), чтобы вспомнить. Я, конечно же, читала очень плохо, постоянно брала в руки таблицу и спрашивала: «Как же это читается?» И дети с энтузиазмом мне рассказывали: «Вот видишь, это «т», вот где у тебя фишка стоит — это «т», а у тебя выпало «и», значит будет «ти», как в таблице, видишь, в таблице…». Правда, через некоторое время меня с подозрением спросили, а как я каждый день им книги читаю на ночь, если «ти» не могу прочесть? Но тоже не зря было, я считаю, еще и логика формируется 🙂
Сначала вы формируете слияние, то есть согласная плюс гласная. Затем примыкание, это когда к слиянию примыкает еще буква.
Например, но-с. Одно слияние — но и одно примыкание — с. Если пролистаете страницу по ссылке, которую я дала, то как раз увидите примеры. Я делала другую таблицу, сверху вниз писала все слияния, например, с Б (ба, би, бе и так далее), а сверху все согласные. И читали.
Затем будут слова, в которых слияние и примыкание может быть не одно. Например, ло-ж-ка. Два слияния, одно примыкание. Думаю, суть понятна. Но начинаем со слияний.

Действительные числа

«Строили мы, строили и наконец построили», — как сказал когда-то Чебурашка. Ребенок доделал свою памятку по действительным числам. Осталось еще кое-что вписать в «раскладушки».

«Окошко» под «раскладушкой» обычно оставляем пустым (вдруг захочется еще что-то добавить).

_действительные числа_1

_действительные числа_4

_действительные числа_3

_действительные числа_2

«Раскладушка», «Чепуха» и другие. Учим словарные слова.

В эту игру в детстве играли все, и сейчас играют. Но у всех она называлась по-разному, в моем детстве мы называли её «Раскладушка». Встречала ещё вариант названия «Чепуха». Ведущий пишет на бумаге вопрос, например, «кто?» или «что?». Передает первому игроку. Тот отвечает, написанное заворачивает (складывает) так, чтобы не увидел следующий игрок и пишет свой вопрос: «что (с)делает?» или «что (с)делал?» и  передает следующему игроку, он пишет продолжение. Тот, кто пишет дальше, не видит, то что написали предыдущие авторы. Видит только вопрос. В детстве мы, разумеется, использовали её не для учебы 🙂 И мысль, что и от «раскладушки» может быть польза, пришла ко мне только во время учебы в вузе. Нас отправили на практику и нужно было отрабатывать структуру английского предложения. Ученикам понравилось.

Когда во втором классе дети (мои дети, не ученики) отчаянно заучивали слова, мне захотелось разнообразить это действие. И я нарисовала им несколько «раскладушек» с вопросами. Условие было: в каждом поле ты должен использовать одно словарное слово. Ответ не обязательно должен состоять из одного слова, например, «храбрый командир». Написал, передаешь другому. И далее по правилам. Сначала они не писали вопросы сами, я давала им заготовки (пример на фото). Затем, так же как мы в детстве, они стали писать вопросы сами и вопросов стало больше: какой? который? сколько? после чего? В общем, много всего. Рассказы иногда получались очень забавные.

Мы также использовали «Раскладушку», чтобы повторить разбор предложения.

IMG_1879

На практике (как преподаватель английского) я использовала еще одну игру, чтобы ученики могли повторить слова, которые мы учили к определенному разделу. Я давала такую же заготовку с вопросами (не складывала, просто расчерчивала лист на части и писала в них вопросы). Вопросов 7-8, чтобы можно было составить рассказ. Все слова, которые мы должны были повторить, писались на небольших картонных карточках (1,5 на 4 см). Я высыпала их в коробку и каждый набирал себе слова для рассказа. Слова выкладывались на «полоску», остальное, то есть связующие слова дописывались от руки. Например, на вопрос «кто?» ученик выбирает карточку со словом «сестра», а слово «старшая» можно дописать рядом. Иногда (если ученик слишком долго думал над сюжетом), в коробке оставались слова, которые было очень непросто связать вместе. Вот такие рассказы действительно были забавными, напоминали примеры из «Самоучителя английского языка» профессора Мейендорфа, про который рассказывал Корней Чуковский в своей книге «Серебряный герб». «Есть ли у вас одноглазая тетка, которая покупает у пекаря канареек и буйволов?». Что-то в этом роде. И слова именно из таких рассказов запоминались лучше всего.

Дети адаптировали эту игру под словарные слова и играли с друзьями. Даже систему баллов разработали, что если ты использовал в одной «полоске» одно слово, то получаешь один балл, если два, то все баллы, которые до этого получил удваиваются, три — утраиваются и так далее (при условии, что рассказ связный, конечно). В этой игре мы использовали все словарные слова за год.

Вариант — набор словарных слов из слогов. Слово вписывается в квадраты и разрезается. В коробке всё перемешиваем и набираем командами на скорость.

Также активно пользовались «ходилкой». Поле делала также как здесь, только не кружки, а квадратики. В квадратики вклеивался текст. Текст был разный. Были «легкие» квадратики (там было написано словарное слово с пропущенной буквой), были квадратики «посложнее» — описания из толкового словаря (догадайся, какое это словарное слово и напиши), квадратики с антонимами словарных слов, квадратики с синонимами словарных слов (отмечала, что синоним и антоним), квадратики с предложениями, где были пропущены словарные слова, но по смыслу понятно, какое нужно. Долго делала, огромное было поле на ватмане, использовала все слова, пройденные за год. Играли с друзьями летом. Выдавала кубики, фишки и по листку бумаги. Правила меняли, но основные такие же как в игре про состав числа. Игровое поле на даче, так как играли летом, так что фото нет, увы. Но описала, как смогла.

 

Координатная плоскость. Для запоминания.

Рисовали, чтобы запомнить понятия для координатной плоскости. Так что это для запоминания. Для объяснения лучше всего подходит асфальт. Понадобится кусок мела (если есть несколько цветов, то ещё лучше), желание рисовать и плоская жестяная банка (у нас была от крема «Нивея» (давно это было, ещё в четвертом классе).

Мел для того, чтобы нарисовать оси и разметить точки, а банка для того, чтобы играть  (подобие игры «классики»), прыгая с одной точки на другую. Фото нет, да оно и не нужно. Для такого объяснения нужна только хорошая погода.

А для запоминания делали вот это.

Рисунок 1.

плоскость_3

Рисунок 2.

плоскость_1

Рисунок 3 (общий план).

плоскость_2

Длина окружности. Увеличим радиус, что будет?

Решали задачу. Попросили выложить. Выкладываю.

Итак, условие задачи: Как изменится длина окружности, если её радиус увеличить в 3 раза?

Решение (на рисунке оно тоже есть, выложу в конце).

С = 2πR = πd

C (новая окружность с увеличенным радиусом) = 2 • π • 3R = π • 6R = π • 3d = 3πd (следовательно длина окружности увеличится в 3 раза)

И поэтапно.

Жила была окружность. Самая обычная.

IMG_1851

Измерим её длину. Не в цифрах, просто, чтобы у нас было на чем показывать решение (значения вы потом можете подставить любые). Можно измерить ниткой или бумажной лентой, как мы делали здесь. Для разнообразия возьмем «шнурок» из пластилина.

IMG_1852

Вот она — длина окружности.

IMG_1853

«Разрежем» нашу окружность.

IMG_1854

И как мы уже делали вот в этом посте, разделим ее длину на три диаметра и небольшой «хвостик». Мы же знаем, что в длину окружности диаметр умещается примерно 3,14 раза (число π), то есть в длину любой окружности умещаются примерно три диаметра этой же окружности и еще примерно 14 сотых диаметра это же окружности. На самом деле больше 14 сотых. Ведь есть еще тысячные, десятитысячные и продолжать это дробление можно бесконечно, мы же помним, что π — иррациональное число. Но обычно мы округляем его до 3,14 (округляем до сотых). Поэтому  и можем сказать, что умещается примерно 3 диаметра и 14 сотых частей диаметра.

IMG_1857

Разделили.

IMG_1858

Мы же помним, что диаметр равен двум радиусам? А ведь увеличивать нам придется именно радиус. Как нам его получить? Разделим диаметр на две равные части.

IMG_1864

Разделили.

IMG_1865

Продолжить чтение «Длина окружности. Увеличим радиус, что будет?»

Записываем ошибки. Для учителей и родителей.

Упоминала об этом в комментариях в учительском сообществе Елены Селезневой.  После этого в личные сообщения пришла просьба объяснить подробнее. Прошу прощения, что не сразу, но лучше поздно, чем никогда 🙂

ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ. Я начала пользоваться такими записями довольно давно, еще когда училась в универе и одновременно вела там же группу вечерников. Всё просто. Расчерчиваете лист бумаги A4 на прямоугольники (или как вам удобно). Студент начинает отвечать, вы пишете в прямоугольнике его имя (можно первую букву фамилии, если имена в классе совпадают). И записываете ошибки. Я писала под копирку, на перемене не было времени ходить в преподавательскую, делать копию.

IMG_1823

На перемене верхний листок разрезается и части раздаются студентам. Те вклеивают его в тетрадь рядом с домашним заданием. На своей копии  я писала дату и подшивала в тетрадь (я тогда пользовалась не бумагой для принтера, а бумагой в клетку формата А4 с уже пробитыми отверстиями, такие блоки бумаги и тетради формата А4 с кольцами и сейчас везде продают). Когда планировала следующий урок, это помогало мне делать карточки с индивидуальными заданиями, чтобы проверить ошибки прошлого занятия. И прогресс студента отслеживать тоже было удобно.

P. S. Пробовала использовать для таких же целей листочки post it. Не понравилось. Студенты вечно теряют их, они отклеиваются и неудобно копировать информацию для себя. Но на вкус и на цвет… сами понимаете.

ДЛЯ РОДИТЕЛЕЙ. В этом случае расчерчиваем не на прямоугольники с именами, а на прямоугольники с предметами. И при выполнении домашнего задания (если у ребенка возникли трудности, и он подошел к вам за помощью), выявляем «трудности» и пишем: «Математика — ещё раз формула скорости». И отрабатываем с детьми. В этом случае разрезать ничего не нужно, а просто подшиваете листочки в папку, чтобы отследить прогресс и дать дополнительное задание, если нужно.

Число π. Как показать?

Думаю, этот прием известен многим со школьных времен. Но всё же напомню.

Итак, число π. Как мы знаем, число π представляет собой отношение окружности к диаметру. То есть

IMG_1811

Мы можем написать это и по-другому:

IMG_1812

Что мы узнаём при делении? Мы узнаём, сколько раз делитель (число, на которое мы делим) умещается в делимом (в числе, которое мы делим). Или во сколько раз делимое больше делителя и во сколько раз делитель меньше делимого.

Это означает, что мы узнаем, сколько раз диаметр укладывается в длину окружности.

Или можно сказать: мы узнаем, во сколько раз длина окружности больше диаметра.

IMG_1814

То есть длина любой окружности будет примерно в 3,14 раза больше, чем диаметр этой окружности. А диаметр окружности будет примерно в 3,14 раза меньше, чем длина этой же окружности.

Теперь посмотрим, как это выглядит.

Для этого нам понадобятся:

1) круглая крышка ( у меня от контейнера с ватными палочками, такие есть в любом доме). Важно, чтобы крышка не сужалась и не расширялась. Подойдет и любой другой предмет, который мы можем принять за круг.

2) полоска бумаги, достаточно длинная, чтобы можно было обернуть крышку.

3) ножницы, карандаш, линейка.

IMG_1793

Продолжить чтение «Число π. Как показать?»

Метрическая система_2. Немного географии. Географическая долгота.

Теперь поговорим о географической долготе. И меридиане, именно он нам понадобиться при изучении истории метрической системы. Еще раз, долгота и меридиан — не одно и то же. Долгота устанавливается путем различных исследований  (как и широта), а меридиан — это линия, которая наносится на карту или глобус. Сейчас за начальный (нулевой, то есть имеющий нуль градусов) признан Гринвичский меридиан (в 1884 году). Во многих странах были свои  нулевые меридианы: в Испании — Мадридский, в Италии — Римский, во Франции — Парижский, в России — Пулковский (он проходил через главную обсерваторию страны на Пулковских высотах).

Плоскость нулевого меридиана — это то, от чего мы отсчитываем (для широты, напомню, такой плоскостью отсчета является плоскость экватора, «нуль градусов»).  От плоскости нулевого меридиана мы отсчитываем долготы и наносим на карту линии долготы — меридианы. Отсчитываем в обе стороны — от 0 градусов до 180 градусов. Если считаем к востоку, то говорим «____ градусов восточной долготы, если считаем на запад, то говорим «____ градусов западной долготы «.

Меридиан — это угол между плоскостью меридиана, который проходит через точку, которую мы выбрали (все остальные точки этого меридиана будут иметь такую же долготу) и плоскостью начального (нулевого) меридиана.

_2

Если посмотреть на макет из пластилина, то плоскость нулевого меридиана будет слева. Справа плоскость меридиана, на котором находится выбранная нами точка. Угол между этими двумя плоскостями  и будет географической долготой. Точки нулевого меридиана имеют одинаковую долготу (нуль градусов) и точки меридиана, на котором лежит выбранная нами точка, тоже будут иметь одинаковую долготу. Если вы перевернете пластилиновый шарик-макет, то убедитесь, что это напоминает определение широты, только исходной является не плоскость экватора, а плоскость начального меридиана.

Когда мы наносим линии широты (параллели) и линии долготы (меридианы) на глобус или географическую карту, то получается картографическая сетка, с которой мы обычно и работаем, когда определяем координаты.

Вы понимаете, что параллели и меридианы можно определять не только в градусах, но и в минутах, и в секунда и в долях секунды, для большей точности.

На этом с географическими объяснениями заканчиваем и переходим к исторической части.