Шифрквадрат (для летнего кружка и просто так)

Мое знакомство с шифрами произошло не по моей инициативе. Меня в общем-то они особо не интересовали, но шифрованием увлекался мой дачный приятель Митя. Наши родители дружили и мы тоже стали «хулиганами-не-разлей-вода», так нас окрестил Митин папа. Мы были уже взрослыми, состоявшимися людьми, сами понимаете, я в перешла во второй класс, Митя в четвертый. Поэтому мы не разменивались и решили подойти к вопросу со всей серьезностью. Митя решил, мне отводилась роль благодарного слушателя. Начали со скиталы. Продолжить чтение «Шифрквадрат (для летнего кружка и просто так)»

Параллельные координаты, алгебраическое сложение и тореадоры.

Не могу сказать, что я использую этот метод как основной, но рассмотреть с детьми бывает интересно. Надеюсь, пригодится.

Показал мне этот способ друг моего отца — дядя Юра, бессменный участник всего дачного «образовательного безобразия», как он сам называл этот процесс. Математика, история, география, можно было подойти с любым вопросом и терпеливо выслушав «Нынешнее поколение — это совсем не то!», получить ответ.
Продолжить чтение «Параллельные координаты, алгебраическое сложение и тореадоры.»

Римский календарь (до Цезаря)

Напишу все-таки здесь, чтобы было не по комментариям, а в одном месте. Из обсуждения здесь. Комментарии тоже сюда перенесла, чтобы не писать два раза.

В школе на уроках историк говорил, что этот месяц был назван не в честь Феба, а в честь Фебрууса — это этрусский бог подземного царства. Этот месяц единственный имел четное количество дней — 28 и посвящался очищению от грехов и поминанию ушедших. Четные числа римляне считали несчастливыми, остальные месяцы имели нечетное число дней — 29 или 31, есть версия, что римляне считали эти числа удачными и счастливыми, так как их последовательность дает квадрат числа.

Первый месяц — март — был назван в честь Марса, считалось, что его задача — защищать тех кто трудится, землепашцев. Второй месяц получил название от глагола «аперире» — открывать (в апреле появлялись почки на деревьях и всходы). Третий месяц носил имя богини Майи (богиня весны и расцвета, если правильно помню), а четвертый — Юноны (богиня плодородия). В эти месяцы было много посвященным им праздников. А следующие месяцы (с пятого по десятый), как уже писали выше, просто назывались по порядку: пятый, шестой и так далее. Одиннадцатый был назван в честь Януса, а про февраль я уже написала.

Началось все с действий жрецов, именно они решали все вопросы относительно календаря, в том числе она назначали даты праздников. С календарем случались постоянные неувязки (это я о временах до реформы Цезаря говорю). Он был коротким, 355 дней и кончался на 10 и 1/4 суток раньше, чем нужно. Это приводило к постоянным неурядицам, помню, приводили пример связанный с праздником Бахуса. По календарю пора отмечать праздник и приносить жертвы, а вина еще нет, это происходило потому, что с каждым годом разрыв все увеличивался.

Календарь выглядел так.

Мартиус — 31

Априлис — 29

Майус — 31

Юниус — 29

Квинтилис (пятый) — 31

Секстилис (шестой) — 29

Септембер (седьмой) — 29

Октобер (восьмой) — 31

Новембер (девятый) — 29

Децембер (десятый) — 29

Януариус — 29

Фебруариус — 28

То есть месяцы, выделенные синим, просто назывались порядковыми числительными.

Жрецы решили вопрос так, они ввели в обиход месяц марцедониус. Он вставлялся в последний месяц, фебруариус.

Система получалась такая. Брали период равный 4 годам.

Первый год — 355 дней (короткий)

Второй год — здесь появлялся марцедониус (его продолжительность была равна 22 дням).

Третий год — снова короткий 355 дней.

Четвертый — снова марцедониус (но в четвертом году его продолжительность была 23 дня).

На практике это осуществлялось так. В те годы, когда действовал марцедониус, фебруариус длился до 23 числа. Дальше начинались дни марцедониуса. То есть было у нас 23 фебруариуса, а на следующий день у нас 1 марцедониуса, затем 2 марцедониуса и так далее до самого конца марцедониуса. И вот наступило 22 марцедониуса (если мы говорим про второй год нашего периода) или 23 марцедониуса (если мы говорим про четвертый год), а на следующий день у нас что? Думаете, мартиус начался? Зря. На следующий день у нас 24 фебруариуса.  А затем 25, 26, 27 и 28 (то есть до конца). А потом уже 1 мартиуса. Вот так пытались сохранить священное число 28 в фебруариусе, чтили традиции. Не должно быть в фебруариусе 50 и 51 дня, что случилось бы, если бы мы просто прибавили во второй и четвертый год к дням фебруариуса 22 и 23 дня (продлили месяц). Поэтому вставили один месяц внутрь другого, но в фебруариусе по-прежнему 28, как надо.

Но случилась другая незадача. Если раньше год был короче, чем надо, то теперь случился перекос в другую сторону. Благодаря двум марцедониусам за 4 года (22+23=45) каждый год в этом четырехлетнем  периоде становился длиннее на 11 и 1/4 суток (делим 45 на 4). А нужно было компенсировать только 10 и 1/4 суток, если вы помните. И за десятилетия эти лишние дни стали накапливаться в таких количествах, что все летние праздники сместились к зиме и наоборот. Но дело не в том, что всех хотелось постоянного веселья и зрелищ, а то, что праздники были приурочены к началу и окончанию сельскохозяйственных работ. То есть календарь перестал выполнять свою основную функцию.

Поэтому календарь требовал постоянно поправок, и не все из них мы теперь знаем.

Здесь был еще момент. Консулы и проконсулы (в провинциях) были на должности  1 год (если память не подводит, то консулы избирались, а проконсулы назначались).  Выборы консулов происходили 1 января (тогда же назначались проконсулы).  Но ведь продолжительность года можно было поменять, и жрецы также этим пользовались, чтобы регулировать сроки уплаты платежей и налогов. И это вносило еще большую сумятицу в календарь.

Кстати, само слово «календы» тоже связано с платежами. Это был первый день месяца. День, когда должники вносили проценты по долгу, и эти выплаты фиксировались в книге, которая называлась «календариум».  В римском календаре месяц делился на три неравных периода. Не было порядковой нумерации дней, поэтому три дня в месяце римляне использовали как опорные точки. Первый день — календы (название произошло от слова «calo» — «объявлять, возглашать»), как уже было сказано, это 1ый день нового месяца.  В этот день глашатай громко объявлял, что наступил день уплаты задолженностей.

Второй день —  5 или 7 числа месяца, он назывался «ноны».

Третий день — 13 или 15 числа — «иды».

То есть день (нумерации дней не было, повторюсь) мог определятся так » шестой день до мартовских нон». Это 2 марта.

Как определяли, какой день был первым, если числа были не пронумерованы? Это было связано с Луной. Календы — на небе появился серп, ноны — первая четверть, иды — полнолуние. Именно поэтому ноны и иды имели два возможных числа (например, на 15-й день месяца иды приходились в марте, мае, июле и октябре), а на 13-й — в остальных восьми месяцах. Про «мартовские иды», думаю, все помнят.

Вкратце все. И картинка про марцедониус с фебруариусом.

экрана 2019-04-08 в 13.17.32

 

Как «вынести минус»?

Давно ничего не писала и хотела писать совсем о другом, но попросили объяснить быстро алгебраические дроби. Я быстро не могу, вы знаете. Спросила, с чем конкретно помочь. Оказалось, не понимает как «выносить» минус и менять слагаемые в скобках местами. Переодически объясняю детям, но сейчас  ВПР и надо было «ещё вчера». Заодно и сюда решила написать, не знаю  почему, но тема с минусом возникает постоянно.

Диалог выглядел с ребенком так:

—  Здесь можно сократить, правда?

—  Ну… тут знаки разные, надо тогда этот, как его, минус выносить.

—  Давай вынесем.

—  Там сложно.

—  Сложно?

—  Ну … там, короче, надо вынести минус. Берем минус, ставим, и там знаки все меняются в скобках. Но там …это…. Там то минус, то плюс, вообще непонятно от чего зависит. То есть когда просто в скобках плюс, то понятно, ставишь там перед скобками минус и всё, сразу всё меняется. А вот если не плюс, или там просят буквы эти местами поменять.

—  Но здесь понятно? Здесь же  + (a+b).

—  Ну да, здесь легко. Берешь минус, выносишь и ставишь перед скобкой первой и в скобках минус сразу. То есть здесь вот тогда будет — (a — b)

—  Точно будет — (a — b)?

— Да, знак поменяется. Мы поэтому минус и выносим, чтобы он поменялся.

— Он так меняется? Уверен?

— Ну да.

—  А если мы раскроем скобки и проверим? Мы получим снова + (a+b)?

— Не, а зачем проверять? Там точно минус должен быть. Потому что ставишь минус перед скобками, и он меняет знак в скобках сразу.

—  Хорошо. А где ты его берешь?

— Кого?

—  Ты сказал «берем минус и ставим перед скобкой». Минус. Где ты его взял?

— Ну как… из скобок.

— Давай посмотрим на скобки. Где он?

Ребенок озадачено смотрит на скобки.  На + (a + b).

— Не… ну, мы берем минус и ставим перед скобкой, да.

— Это я поняла. А откуда берем? Ты ведь говорил, что мы выносим минус из скобок?

— Из скобок. У нас там получилось — (a — b), видишь. Вот мы этот минус и вынесли.

—  Но ведь этот минус в скобках получился у нас уже после? Когда мы уже поставили минус перед скобками и знаки поменялись. Как же мы могли его вынести? Там был плюс. И если ты заметил, знак у тебя поменялся почему-то только у b

— Почему только у b? Это же их общий знак, он между ними стоит. 

— Понятно. И минус мы берем ниоткуда? Вынули минус из кармана и поставили перед скобкой?

— Нет, он из скобок.

— Но там плюс.

— Ну да… а откуда мы его берем?!!

И на этом мы принялись изучать алгебраическое сложение (см. предыдущий пост). А потом разбирались:  откуда же взялся минус?

-a = (-1) · (+a)

-b = (-1) · (+b)

-a = (+1) · (-a)

-b = (+1) · (-b)

+a = (+1) · (+a)

+b = (+1) · (+b)

+a = (-1) · (-a)

+b = (-1) · (-b)

Вот так мы можем разложить каждое число. Не только а и не только b,  и не только -a и -b, как полагают многие дети. Подставьте на место этих букв любые другие (если вы работаете с буквами). Например, с.

-c = (-1) · (+c)

-c = (+1) · (-c)

+c = (+1) · (+c)

+c = (-1) · (-c)

Подставьте числа (если у вас в выражении не буквы, а числа). Например, 12.

-12 = (-1) · (+12)

-12 = (+1) · (-12)

+12 = (+1) · (+12)

+12 = (-1) · (-12)

Да, вы имеете полное право тяжело вздохнуть и спросить: «И зачем это? Ведь очевидно, что a и b можно заменить на любые числа и буквы». Могу сказать только одно, вы не представляете, скольким детям (иногда и взрослым) это неочевидно и на вопрос: «Как мы можем представить -15? Видишь мы с тобой тут писали пару минут назад, что — а можно представить в виде произведения», тебе отвечают: «Не знаю… ну, то есть я знаю, что мы можем -а представить, но вот -15…даже не знаю. А как представить?»

Давайте начнем с примера, который я написала выше. Предположим, у вас есть выражение a + b, оно заключено в скобки. И перед скобками стоит знак плюс. А вам очень нужно по каким-то причинам, чтобы перед скобками стоял знак минус, а в скобках знаки букв или чисел стали другими. Проще говоря, вам нужно «вынести минус». Как поступим?

Да, я знаю, можно умножить на минус единицу. Но часто после этого как раз и происходит, что + (a + b) превращается в — (a — b).  Знак первого слагаемого «теряется».

Поэтому сделаем так. Возьмем уже упомянутое + (a + b) и поменяем в нем знак (вынесем минус). Для этого мы возьмем каждое из слагаемых (каждое число в скобках) и представим его в виде двух множителей, например:

представим а как (-1) · (-a), ведь два отрицательных числа дадут нам в итоге положительное, верно? Представим b как (-1) · (- b) и посмотрим, что нам с этим делать. Расписывать подробно не буду, в качестве иллюстрации использую «памятки», которые ребенок делал для школы.

Кстати: не забывайте, что плюс перед скобкой — это (+1) и когда мы «выносим» минус (то есть минус единицу — общий множитель), то нам нужно их перемножить. Именно результат этого умножения (+1) · (-1) дает нам знак перед скобкой (см. рисунок ниже).

minus_3

Теперь рассмотрим вариант + (a — b), но мы же помним, что на самом деле в скобках не разность, а алгебраическая сумма  + ((+a) + (- b)). Если не помним, то смотрим ещё раз пост про алгебраическое сложение. Каждое из слагаемых этой суммы мы представим в виде произведения.

(+а) как произведение (-1) и (-а)

(-b) как произведение (-1) и (+b)

minus_4

Теперь рассмотрим вариант — (a + b),  мы помним, что в скобках алгебраическая сумма — ((+a) + (+ b)).  Каждое из слагаемых этой суммы мы представим в виде произведения.

(+а) как произведение (- 1) и (- а)

(+b) как произведение (-1) и (- b)

minus-5

И еще один вариант — (a — b),  мы помним, что в скобках алгебраическая сумма — ((+a) + (- b)).  Каждое из слагаемых этой суммы мы представим в виде произведения.

(+а) как произведение (- 1) и (- а)

(- b) как произведение (-1) и (+ b)

minus_1

Возможно этот способ подойдет не всем, ну, что могу сказать, есть много других. Он кажется немного сложным, но после небольшой практики, все эти действия (разложение чисел) можно легко выполнять в уме. Главное, понять суть.

 

 

 

 

Алгебраическая сумма и разность (для родителей)

для Ирины

«И какой тут знак тогда?» — возмущенно сказал один из моих учеников, когда уже после урока английского, у нас зашла речь о его домашнем задании по математике. Он собирал свой комплект Starlight, и неожиданно выпала тетрадь по математике. «Ещё математика же!» — яростно воскликнул ребенок, который как раз описывал мне, сколько ему на сегодня и на завтра задали (чтобы избежать диктанта на следующем уроке, я так подозреваю). «А что математика?» — спросила я. «Ну вот же!» — он раскрыл тетрадь и ткнул пальцем в задание. «Приведите подобные слагаемые. Я вообще не понимаю, реально. Я сложил, учительница говорит, нет, здесь минус должен быть, а сама говорит, что подобные слагаемые складываются. Я её спрашиваю, они складываются? Да, говорит, всё правильно, складываются, поэтому здесь будет минус. Ничего не понял. Вот здесь пример. И какой тут знак тогда?» Продолжить чтение «Алгебраическая сумма и разность (для родителей)»

Умножение многочлена на многочлен. «Гармошка». (для родителей).

Из рубрики «ученику на заметку» (чуть не написала «хозяйке на заметку» по привычке).  Чтобы не путаться со знаками при умножении многочлена на многочлен. Нет, про метод умножения «фонтанчиком» я знаю, то, что я напишу ниже, это практически то же самое. Только без стрелок, в которых можно запутаться.

Итак, вам нужно умножить многочлен на многочлен.

Берем листок бумаги в клетку, обычный, из тетрадки. И карандаш. Или ручку. Или гусиное перо. На ваш выбор 🙂

Листок складываем «гармошкой», в детстве мы так делали вееры, если кто-то помнит. Если никто не помнит, то картинка «гармошки» будет чуть ниже.

Когда мы умножаем многочлен на многочлен, нам нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена. Вот смотрите.

Умножение происходит так. Мы берем первый член многочлена, который заключен в первых скобках (первый член первого многочлена). Это 2a²bc. Мы должны умножить его на первый, второй и третий члены многочлена, который заключен во вторых скобках (первый, второй и третий члены второго многочлена).  Последовательно.

_10

Выписываем + 2a²bc на «гармошку». Почему со знаком, мы ведь обычно не пишем «плюс»? Чтобы не запутаться со знаком одночлена, который получится в результате умножения.

Продолжить чтение «Умножение многочлена на многочлен. «Гармошка». (для родителей).»

Старинный способ умножения (для родителей)

Про Египет уже писала, про Древний Рим пока не собралась… Попросили объяснить подробнее старинный способ умножения из книги «Вечера занимательной арифметики». Как смогла 🙂

Не буду сейчас рассказывать ни об «Уставе ратных дел», ни о «Сошном письме» и не буду сравнивать этот способ с теми, которые использовались в то время в других странах. Просто объясню сам способ (им пользовались до восемнадцатого века). Он основан на сложении и вычитании и на «удвоении» и «раздвоении», то есть на увеличении числа в два раза и его делении пополам (было время, когда эти два действия считались самостоятельными).

Итак, что мы делаем? Предположим, нам нужно умножить 32 на 15.  Для этого разделим пополам множимое (сейчас мы чаще говорим «первый множитель») и умножим на 2 множитель (сейчас мы чаще говорим «второй множитель»).  Непонятно? Продолжить чтение «Старинный способ умножения (для родителей)»

Неравенство треугольника (для родителей)

Для Лены.

Сначала то, что нужно срочно. Показать что длина одной стороны треугольника будет меньше, чем сумма двух других сторон, можно просто при помощи полосок бумаги (разрежь листок в клетку). Берешь задачник по геометрии и нарезаешь полоски такого размера, как там указано (можешь составить примеры сама).  У меня в крупную клетку, другого листа нет сейчас под рукой. Но суть не изменится, можно взять палочки деревянные, пластиковые трубочки для напитков, что есть под рукой.

Например, у тебя длина одной стороны равна 13 см, а длины двух других — шесть и четыре сантиметра.

Пусть попытается составить из них треугольник и убедится, что составить треугольник невозможно. Концы отрезков (сторон) просто не «сойдутся», не дотянутся друг до друга. Но это что касается демонстрации.

WhatsApp Image 2

Теперь про объяснение. Расстояние я обозначаю при помощи ||, потому что так оно обозначается в нашем учебнике и так привычнее. Можно писать просто AC, АВ и так далее (в большинстве учебников именно так). Продолжить чтение «Неравенство треугольника (для родителей)»

Умножение в Древнем Египте

Как умножить 67 на 2. Навеяно обсуждением в математическом сообществе Facebook. Без двоичной системы напишу, хорошо?

Все значки, которые использовали в Египте рисовать не буду, рассмотрим три из них:

IMG_2324

Продолжить чтение «Умножение в Древнем Египте»

«Францисканские шахматы» (или «Ритмомахия», «Битва чисел» и «Игра философов»)

«Францисканскими шахматами» называл эту игру мой знакомый, который, собственно, и научил меня в неё играть. Теперь у меня игра из картона, все собираюсь сделать фигуры и поле из дерева, и никак не соберусь. Приходится обновлять каждое лето, а что делать, дольше картон не живет. Поэтому на фото игра уже потрепана за июнь.

В жизни был такой период, когда было не до настольных игр. И вспомнила я о ней, когда дети уже пошли в школу.

Продолжить чтение ««Францисканские шахматы» (или «Ритмомахия», «Битва чисел» и «Игра философов»)»