Координатный луч

Прямая линия бесконечна в оба конца. И на ней очень удобно изображать числа. Давай разберемся как это делать.

Начертим на листе бумаги в клетку прямую линию.

IMG_3773

Отметим на ней точку, которую назовем начальной и обозначим буквой О.

IMG_3774

Эта точка разделит нашу прямую на две части. Такие две части прямой называются лучами. И они тоже бесконечны, как и прямая. Один идет до бесконечности вправо, другой до бесконечности влево. Мы с тобой будем сейчас работать только с тем лучом, который идет вправо.

IMG_3775

На нем располагаются положительные числа, то есть числа больше нуля (есть еще и отрицательные, но о них мы будем говорить немного позже, поэтому луч на котором отрицательные числа расположены, мы сделаем невидимым).

IMG_3776

И начнем работать с правым лучом.

IMG_3777

Теперь отступим от точки О вправо на одну клетку, поставим точку и напишем под ней 1 (ведь мы сделали только один шаг).

IMG_3778

Потом отступим еще на одну клетку, опять поставим точку и напишем цифру 2 (теперь мы сделали два шага) и так далее. Конечно же, мы не можем написать все числа, которые можно уместить на координатном луче, ведь он бесконечен, значит, и количество шагов, которое мы можем сделать, тоже бесконечно. Но мы можем написать их столько, сколько их поместиться на тетрадном листе (пишем постепенно,  то есть делаем шаг и под новой точкой записываем, сколько же шагов мы уже сделали).

IMG_3779

Обрати внимание, я букву О перенесла и записала над точкой, а под ней тоже записала количество шагов, которое мы сделали, чтобы достичь этой точки. Это ноль шагов. Это начало, мы еще никуда не пошли.

 Дальше я буду писать букву O красным. То есть красным будем писать название буквы O, а синим под ней количество шагов, то есть ноль. Можно было бы выбрать другую букву, так как O похожа на ноль, но для того, чтобы обозначить начало отсчета шагов по лучу чаще всего во всех учебниках используют именно букву О, поэтому давай будем придерживаться общего правила. Эту точку также называют «начало координат».

IMG_3782

Получается, что у каждой точки на луче есть свой номер, свой адрес? Да. Это количество шагов, которое мы сделали по лучу вправо, чтобы достичь этой точки. Это количество шагов называется координатой точки. А сам луч именно потому и называется координатным, потому что на нём записаны координаты точек. Еще раз повторим – буквы (большие латинские, например, A,B,C,F,G, H  и другие) – это имена (названия) точек. А цифры под ними – это координаты точек. Не путай. Обычно точку записывают так: сначала пишут ее имя (название), а потом в скобках указывают координату. Посмотри на рисунок. Давай запишем, какие точки у нас изображены.

IMG_3781

A(7); B(13);F(18)

И наоборот. Предположим, нам написали точки с координатами и просят их отметить на координатном луче. Например, F(4), E(7), G(12)

Что мы делаем?

Чертим луч с точкой О в начале (это начало отсчета или начало координат).

IMG_3782

Выбираем единичный отрезок. Пусть он будет 2 клетки. И делим на такие отрезки наш луч.

IMG_3783

Теперь смотрим на координаты точек.

F(4). Делаем 4 шага от ноля (то есть отсчитываем 4 единичных отрезка) и отмечаем точку  F(пишем ее название над точкой). Под точкой пишем ее координату.

IMG_3786

E(7) Делаем 7 шагов от ноля (то есть отсчитываем 7 единичных отрезков) и отмечаем точку  E (пишем ее название над точкой). Под точкой пишем ее координату.

IMG_3788

G(12) Делаем 12 шагов от ноля (то есть отсчитываем 12 единичных отрезков) и отмечаем точку G(пишем ее название над точкой). Под точкой пишем ее координату.

IMG_3789

Какую еще важную вещь мы можем отметить? Мы всегда делали шаг длиной в одну клетку. То есть наши шаги по координатному лучу всегда были одинаковыми. И это очень важно. Предположим, тебя попросили измерить шагами длину тротуара. Если ты сначала пойдешь мелкими шажками, а потом будешь идти широкими шагами и скажешь, что насчитал 25 шагов, твои измерения не будут верными, ведь шаги были разными.

Важно, чтобы шаги всегда были одинаковыми. Поэтому, если уж мы выбрали шаг длиной в одну клетку, то мы так и будем шагать 1 клетку. Такие одинаковые шаги называются единичными отрезками. Почему единичными? Потому что мы каждый такой отрезок принимаем за какое-то количество единиц.Сейчас мы с тобой решили, что у нас 1 единичный отрезок обозначает одну единицу (но как мы увидим дальше, 1 единичный отрезок может обозначать и большее количество единиц).

Всегда ли мы должны рисовать единичный отрезок размером в одну клетку? Не самый удобный размер, особенно в тетради, не очень удобно писать большие числа рядом, ведь иногда координатой точки может быть не только однозначное, но и двузначное и трехзначное число, тяжело, уместить такой «адрес» под точкой, если у тебя для этого всего одна клетка, попробуй и сам увидишь. Но мы же можем взять отрезок равный двум клеткам, трем клеткам, четырем клеткам и так далее. И скажем себе: «Я беру отрезок равный двум клеткам, пусть он обозначает единицу». Но как ты можем увидеть на рисунке, чем длиннее единичный отрезок, тем меньше чисел мы можем записать на нашем координатном луче. Посмотри, когда единичный отрезок был равен 1 клетке, мы записали числа от 0 до 28. Когда он был равен 2 клеткам, от 0 до 15 так далее. То есть ты всегда должен подумать, сколько чисел ты должен уместить на луче.

IMG_3780

Если же нам нужно вместить как можно больше чисел на координатный луч, мы можем брать единичный отрезок меньше 1 клетки, например, половину клетки и даже меньше.

Но ЗАПОМИНАЕМ: все единичные отрезки на одном координатном луче должны быть одной длины.

Как выбрать единичный отрезок?

Предположим, нам дали задание отметить на координатном луче точки со следующими координатами: А(100); В(200); С(500). Как нам это сделать? Посмотри на тетрадный лист. Можешь, конечно, пересчитать, но и так понятно, что клеток меньше ста. Как поступим?

Все не так сложно. Если до этого мы считали, что единичный отрезок равен 1, то почему мы не можем сказать: «А в этот раз мы будем считать, что единичный отрезок равен 100 единицам». И выберем любую длину отрезка, которая нам удобна. Пусть это опять же будет 2 клетки. Итак, один единичный отрезок длиной две клетки, мы считаем равным 100 единицам (мы еще можем сказать, что один наш шаг на координатном луче равен 100 единицам, вот шагнули мы и сразу сто единиц прошли). И тогда мы легко можем отметить точки, которые от нас требуют.

Итак, если тебя попросили отметить точки на луче, то ты должен продумать два вопроса:

  1. сколько единиц будет обозначать единичный отрезок (1 единицу, 5 единиц, 10 единиц, 15 единиц и так далее)
  2. Какой длины будет свой единичный отрезок (1 клетка, 2 клетки и так далее). Ведь если тебе, например, нужно отметить точки A (5000), B(6000), C(7000) D(8000), то понятно, что лучше не брать отрезок размером 1 клетку. Тебе будет неудобно записывать координаты точек, разумнее взять отрезок длиной 2 или даже 3 клетки.

И давай определимся, какая точка у нас будет правее на координатном луче?

Предположим, на координатном луче имеются две точки: А(123) и В(1123). Какая из них будет расположена правее? Конечно же, та, до которой мы сделали большее количество шагов по координатному лучу. То есть точка В(1123). То есть правее будет та точка, у которой больше координата.

Шифрквадрат (для летнего кружка и просто так)

Мое знакомство с шифрами произошло не по моей инициативе. Меня в общем-то они особо не интересовали, но шифрованием увлекался мой дачный приятель Митя. Наши родители дружили и мы тоже стали «хулиганами-не-разлей-вода», так нас окрестил Митин папа. Мы были уже взрослыми, состоявшимися людьми, сами понимаете, я в перешла во второй класс, Митя в четвертый. Поэтому мы не разменивались и решили подойти к вопросу со всей серьезностью. Митя решил, мне отводилась роль благодарного слушателя. Начали со скиталы. Продолжить чтение «Шифрквадрат (для летнего кружка и просто так)»

Параллельные координаты, алгебраическое сложение и тореадоры.

Не могу сказать, что я использую этот метод как основной, но рассмотреть с детьми бывает интересно. Надеюсь, пригодится.

Показал мне этот способ друг моего отца — дядя Юра, бессменный участник всего дачного «образовательного безобразия», как он сам называл этот процесс. Математика, история, география, можно было подойти с любым вопросом и терпеливо выслушав «Нынешнее поколение — это совсем не то!», получить ответ.
Продолжить чтение «Параллельные координаты, алгебраическое сложение и тореадоры.»

Римский календарь (до Цезаря)

Напишу все-таки здесь, чтобы было не по комментариям, а в одном месте. Из обсуждения здесь. Комментарии тоже сюда перенесла, чтобы не писать два раза.

В школе на уроках историк говорил, что этот месяц был назван не в честь Феба, а в честь Фебрууса — это этрусский бог подземного царства. Этот месяц единственный имел четное количество дней — 28 и посвящался очищению от грехов и поминанию ушедших. Четные числа римляне считали несчастливыми, остальные месяцы имели нечетное число дней — 29 или 31, есть версия, что римляне считали эти числа удачными и счастливыми, так как их последовательность дает квадрат числа.

Первый месяц — март — был назван в честь Марса, считалось, что его задача — защищать тех кто трудится, землепашцев. Второй месяц получил название от глагола «аперире» — открывать (в апреле появлялись почки на деревьях и всходы). Третий месяц носил имя богини Майи (богиня весны и расцвета, если правильно помню), а четвертый — Юноны (богиня плодородия). В эти месяцы было много посвященным им праздников. А следующие месяцы (с пятого по десятый), как уже писали выше, просто назывались по порядку: пятый, шестой и так далее. Одиннадцатый был назван в честь Януса, а про февраль я уже написала.

Началось все с действий жрецов, именно они решали все вопросы относительно календаря, в том числе она назначали даты праздников. С календарем случались постоянные неувязки (это я о временах до реформы Цезаря говорю). Он был коротким, 355 дней и кончался на 10 и 1/4 суток раньше, чем нужно. Это приводило к постоянным неурядицам, помню, приводили пример связанный с праздником Бахуса. По календарю пора отмечать праздник и приносить жертвы, а вина еще нет, это происходило потому, что с каждым годом разрыв все увеличивался.

Календарь выглядел так.

Мартиус — 31

Априлис — 29

Майус — 31

Юниус — 29

Квинтилис (пятый) — 31

Секстилис (шестой) — 29

Септембер (седьмой) — 29

Октобер (восьмой) — 31

Новембер (девятый) — 29

Децембер (десятый) — 29

Януариус — 29

Фебруариус — 28

То есть месяцы, выделенные синим, просто назывались порядковыми числительными.

Жрецы решили вопрос так, они ввели в обиход месяц марцедониус. Он вставлялся в последний месяц, фебруариус.

Система получалась такая. Брали период равный 4 годам.

Первый год — 355 дней (короткий)

Второй год — здесь появлялся марцедониус (его продолжительность была равна 22 дням).

Третий год — снова короткий 355 дней.

Четвертый — снова марцедониус (но в четвертом году его продолжительность была 23 дня).

На практике это осуществлялось так. В те годы, когда действовал марцедониус, фебруариус длился до 23 числа. Дальше начинались дни марцедониуса. То есть было у нас 23 фебруариуса, а на следующий день у нас 1 марцедониуса, затем 2 марцедониуса и так далее до самого конца марцедониуса. И вот наступило 22 марцедониуса (если мы говорим про второй год нашего периода) или 23 марцедониуса (если мы говорим про четвертый год), а на следующий день у нас что? Думаете, мартиус начался? Зря. На следующий день у нас 24 фебруариуса.  А затем 25, 26, 27 и 28 (то есть до конца). А потом уже 1 мартиуса. Вот так пытались сохранить священное число 28 в фебруариусе, чтили традиции. Не должно быть в фебруариусе 50 и 51 дня, что случилось бы, если бы мы просто прибавили во второй и четвертый год к дням фебруариуса 22 и 23 дня (продлили месяц). Поэтому вставили один месяц внутрь другого, но в фебруариусе по-прежнему 28, как надо.

Но случилась другая незадача. Если раньше год был короче, чем надо, то теперь случился перекос в другую сторону. Благодаря двум марцедониусам за 4 года (22+23=45) каждый год в этом четырехлетнем  периоде становился длиннее на 11 и 1/4 суток (делим 45 на 4). А нужно было компенсировать только 10 и 1/4 суток, если вы помните. И за десятилетия эти лишние дни стали накапливаться в таких количествах, что все летние праздники сместились к зиме и наоборот. Но дело не в том, что всех хотелось постоянного веселья и зрелищ, а то, что праздники были приурочены к началу и окончанию сельскохозяйственных работ. То есть календарь перестал выполнять свою основную функцию.

Поэтому календарь требовал постоянно поправок, и не все из них мы теперь знаем.

Здесь был еще момент. Консулы и проконсулы (в провинциях) были на должности  1 год (если память не подводит, то консулы избирались, а проконсулы назначались).  Выборы консулов происходили 1 января (тогда же назначались проконсулы).  Но ведь продолжительность года можно было поменять, и жрецы также этим пользовались, чтобы регулировать сроки уплаты платежей и налогов. И это вносило еще большую сумятицу в календарь.

Кстати, само слово «календы» тоже связано с платежами. Это был первый день месяца. День, когда должники вносили проценты по долгу, и эти выплаты фиксировались в книге, которая называлась «календариум».  В римском календаре месяц делился на три неравных периода. Не было порядковой нумерации дней, поэтому три дня в месяце римляне использовали как опорные точки. Первый день — календы (название произошло от слова «calo» — «объявлять, возглашать»), как уже было сказано, это 1ый день нового месяца.  В этот день глашатай громко объявлял, что наступил день уплаты задолженностей.

Второй день —  5 или 7 числа месяца, он назывался «ноны».

Третий день — 13 или 15 числа — «иды».

То есть день (нумерации дней не было, повторюсь) мог определятся так » шестой день до мартовских нон». Это 2 марта.

Как определяли, какой день был первым, если числа были не пронумерованы? Это было связано с Луной. Календы — на небе появился серп, ноны — первая четверть, иды — полнолуние. Именно поэтому ноны и иды имели два возможных числа (например, на 15-й день месяца иды приходились в марте, мае, июле и октябре), а на 13-й — в остальных восьми месяцах. Про «мартовские иды», думаю, все помнят.

Вкратце все. И картинка про марцедониус с фебруариусом.

экрана 2019-04-08 в 13.17.32

 

Неравенство треугольника (для родителей)

Для Лены.

Сначала то, что нужно срочно. Показать что длина одной стороны треугольника будет меньше, чем сумма двух других сторон, можно просто при помощи полосок бумаги (разрежь листок в клетку). Берешь задачник по геометрии и нарезаешь полоски такого размера, как там указано (можешь составить примеры сама).  У меня в крупную клетку, другого листа нет сейчас под рукой. Но суть не изменится, можно взять палочки деревянные, пластиковые трубочки для напитков, что есть под рукой.

Например, у тебя длина одной стороны равна 13 см, а длины двух других — шесть и четыре сантиметра.

Пусть попытается составить из них треугольник и убедится, что составить треугольник невозможно. Концы отрезков (сторон) просто не «сойдутся», не дотянутся друг до друга. Но это что касается демонстрации.

WhatsApp Image 2

Теперь про объяснение. Расстояние я обозначаю при помощи ||, потому что так оно обозначается в нашем учебнике и так привычнее. Можно писать просто AC, АВ и так далее (в большинстве учебников именно так). Продолжить чтение «Неравенство треугольника (для родителей)»

Умножение в Древнем Египте

Как умножить 67 на 2. Навеяно обсуждением в математическом сообществе Facebook. Без двоичной системы напишу, хорошо?

Все значки, которые использовали в Египте рисовать не буду, рассмотрим три из них:

IMG_2324

Продолжить чтение «Умножение в Древнем Египте»

«Францисканские шахматы» (или «Ритмомахия», «Битва чисел» и «Игра философов»)

«Францисканскими шахматами» называл эту игру мой знакомый, который, собственно, и научил меня в неё играть. Теперь у меня игра из картона, все собираюсь сделать фигуры и поле из дерева, и никак не соберусь. Приходится обновлять каждое лето, а что делать, дольше картон не живет. Поэтому на фото игра уже потрепана за июнь.

В жизни был такой период, когда было не до настольных игр. И вспомнила я о ней, когда дети уже пошли в школу.

Продолжить чтение ««Францисканские шахматы» (или «Ритмомахия», «Битва чисел» и «Игра философов»)»

Занимаемся на даче. «Песочный циркуль» и «треугольник на палочках».

Для Эльвиры (обсуждаем вот здесь).

В продолжение нашего разговора.

IMG_2155

Рисунок на скорую руку. Да он и не нужен в принципе.  Названия «песочный циркуль» в интернете нет, это название ему дали дети в нашей конкретной компании. Такие штуки использовались в школе в двадцатые годы, когда не хватало инструментов, мне бабушка про него говорила. Берете шнур, две палки (концы по возможности заострить). Связываете шнуром (веревкой). Циркуль готов. Можете рисовать в любой песочнице. Радиус регулируется подкручиваем шнура, резинки, веревки, что у вас есть? Способов сделать самодельный циркуль в классе много, а для улицы я других быстрых решений не знаю, к сожалению. «Небыстрые» требуют болтов и прочего.

Для асфальта мы его тоже использовали, единственная сложность — рисовать аккуратно, чтобы мел не ломался быстро.

Что касается 30 человек… да, задача непростая. Можно дать информацию и разбить на группы, чтобы они могли опробовать разное, например, Древний Египет — это ведь не только измерение треугольниками. Пусть обменяются опытом. Мы все лето фиксировали свои события на ватман (был привезен совершенно для других целей, пришлось пожертвовать). Каждый день — это окошко, в нем рисунок. К окошку приклеивали ставни, на них записывались впечатления. Сейчас все это спокойно можно сделать в презентации (как показала Елена), просто у нас такой технической возможности не было тогда.

Про треугольник даже не знаю что писать… думала, что это общеизвестная вещь. Вероятно, вы просто знаете её под другим названием. Опишу. Берете три палочки (колышка) и веревку, у которой связаны концы (лучше резинку, если помните мы в детстве такую натягивали, чтобы прыгать). Длина зависит от ваших нужд и размера площадки, которую собираетесь мерить. Втыкаете три палочки, натягиваете веревку (резинку). Для того, чтобы разметить где именно должны быть палочки и нужен циркуль.  Да, сейчас в тетрадке легко, на улице все не так быстро. Получаете треугольник. Сначала можно любой (чтобы объяснить сам принцип), но для измерения нужен прямоугольный. Делаете из двух картонных планок прямой угол, чтобы можно было проверить треугольник на улице, или может быть у вас в классе есть учебный угольник для доски, можно взять его на улицу. У меня не было, я делала из картона, просто отрезала две полоски от коробки, в которой привезли вещи на дачу. Если размер картона позволяет можно просто вырезать треугольник целиком.

Так при помощи прямоугольных треугольников египтяне когда-то измеряли земляные участки (думаю, как именно измеряли,  помните из курса истории математики). Здесь может возникнуть вопрос о градусах, минутах и секундах, но здесь ничего сложного быть не должно, градус такая же мера измерения как и все остальные. В принципе его объяснение ничем не отличается от объяснения того же сантиметра. Можно объяснить причем здесь минуты и секунды и что они не имеют отношения ко времени.

Если есть вопросы, пишите.