Давно ничего не писала и хотела писать совсем о другом, но попросили объяснить быстро алгебраические дроби. Я быстро не могу, вы знаете. Спросила, с чем конкретно помочь. Оказалось, не понимает как «выносить» минус и менять слагаемые в скобках местами. Переодически объясняю детям, но сейчас ВПР и надо было «ещё вчера». Заодно и сюда решила написать, не знаю почему, но тема с минусом возникает постоянно.
Диалог выглядел с ребенком так:
— Здесь можно сократить, правда?
— Ну… тут знаки разные, надо тогда этот, как его, минус выносить.
— Давай вынесем.
— Там сложно.
— Сложно?
— Ну … там, короче, надо вынести минус. Берем минус, ставим, и там знаки все меняются в скобках. Но там …это…. Там то минус, то плюс, вообще непонятно от чего зависит. То есть когда просто в скобках плюс, то понятно, ставишь там перед скобками минус и всё, сразу всё меняется. А вот если не плюс, или там просят буквы эти местами поменять.
— Но здесь понятно? Здесь же + (a+b).
— Ну да, здесь легко. Берешь минус, выносишь и ставишь перед скобкой первой и в скобках минус сразу. То есть здесь вот тогда будет — (a — b)
— Точно будет — (a — b)?
— Да, знак поменяется. Мы поэтому минус и выносим, чтобы он поменялся.
— Он так меняется? Уверен?
— Ну да.
— А если мы раскроем скобки и проверим? Мы получим снова + (a+b)?
— Не, а зачем проверять? Там точно минус должен быть. Потому что ставишь минус перед скобками, и он меняет знак в скобках сразу.
— Хорошо. А где ты его берешь?
— Кого?
— Ты сказал «берем минус и ставим перед скобкой». Минус. Где ты его взял?
— Ну как… из скобок.
— Давай посмотрим на скобки. Где он?
Ребенок озадачено смотрит на скобки. На + (a + b).
— Не… ну, мы берем минус и ставим перед скобкой, да.
— Это я поняла. А откуда берем? Ты ведь говорил, что мы выносим минус из скобок?
— Из скобок. У нас там получилось — (a — b), видишь. Вот мы этот минус и вынесли.
— Но ведь этот минус в скобках получился у нас уже после? Когда мы уже поставили минус перед скобками и знаки поменялись. Как же мы могли его вынести? Там был плюс. И если ты заметил, знак у тебя поменялся почему-то только у b.
— Почему только у b? Это же их общий знак, он между ними стоит.
— Понятно. И минус мы берем ниоткуда? Вынули минус из кармана и поставили перед скобкой?
— Нет, он из скобок.
— Но там плюс.
— Ну да… а откуда мы его берем?!!
И на этом мы принялись изучать алгебраическое сложение (см. предыдущий пост). А потом разбирались: откуда же взялся минус?
-a = (-1) · (+a)
-b = (-1) · (+b)
-a = (+1) · (-a)
-b = (+1) · (-b)
+a = (+1) · (+a)
+b = (+1) · (+b)
+a = (-1) · (-a)
+b = (-1) · (-b)
Вот так мы можем разложить каждое число. Не только а и не только b, и не только -a и -b, как полагают многие дети. Подставьте на место этих букв любые другие (если вы работаете с буквами). Например, с.
-c = (-1) · (+c)
-c = (+1) · (-c)
+c = (+1) · (+c)
+c = (-1) · (-c)
Подставьте числа (если у вас в выражении не буквы, а числа). Например, 12.
-12 = (-1) · (+12)
-12 = (+1) · (-12)
+12 = (+1) · (+12)
+12 = (-1) · (-12)
Да, вы имеете полное право тяжело вздохнуть и спросить: «И зачем это? Ведь очевидно, что a и b можно заменить на любые числа и буквы». Могу сказать только одно, вы не представляете, скольким детям (иногда и взрослым) это неочевидно и на вопрос: «Как мы можем представить -15? Видишь мы с тобой тут писали пару минут назад, что — а можно представить в виде произведения», тебе отвечают: «Не знаю… ну, то есть я знаю, что мы можем -а представить, но вот -15…даже не знаю. А как представить?»
Давайте начнем с примера, который я написала выше. Предположим, у вас есть выражение a + b, оно заключено в скобки. И перед скобками стоит знак плюс. А вам очень нужно по каким-то причинам, чтобы перед скобками стоял знак минус, а в скобках знаки букв или чисел стали другими. Проще говоря, вам нужно «вынести минус». Как поступим?
Да, я знаю, можно умножить на минус единицу. Но часто после этого как раз и происходит, что + (a + b) превращается в — (a — b). Знак первого слагаемого «теряется».
Поэтому сделаем так. Возьмем уже упомянутое + (a + b) и поменяем в нем знак (вынесем минус). Для этого мы возьмем каждое из слагаемых (каждое число в скобках) и представим его в виде двух множителей, например:
представим а как (-1) · (-a), ведь два отрицательных числа дадут нам в итоге положительное, верно? Представим b как (-1) · (- b) и посмотрим, что нам с этим делать. Расписывать подробно не буду, в качестве иллюстрации использую «памятки», которые ребенок делал для школы.
Кстати: не забывайте, что плюс перед скобкой — это (+1) и когда мы «выносим» минус (то есть минус единицу — общий множитель), то нам нужно их перемножить. Именно результат этого умножения (+1) · (-1) дает нам знак перед скобкой (см. рисунок ниже).
Теперь рассмотрим вариант + (a — b), но мы же помним, что на самом деле в скобках не разность, а алгебраическая сумма + ((+a) + (- b)). Если не помним, то смотрим ещё раз пост про алгебраическое сложение. Каждое из слагаемых этой суммы мы представим в виде произведения.
(+а) как произведение (-1) и (-а)
(-b) как произведение (-1) и (+b)
Теперь рассмотрим вариант — (a + b), мы помним, что в скобках алгебраическая сумма — ((+a) + (+ b)). Каждое из слагаемых этой суммы мы представим в виде произведения.
(+а) как произведение (- 1) и (- а)
(+b) как произведение (-1) и (- b)
И еще один вариант — (a — b), мы помним, что в скобках алгебраическая сумма — ((+a) + (- b)). Каждое из слагаемых этой суммы мы представим в виде произведения.
(+а) как произведение (- 1) и (- а)
(- b) как произведение (-1) и (+ b)
Возможно этот способ подойдет не всем, ну, что могу сказать, есть много других. Он кажется немного сложным, но после небольшой практики, все эти действия (разложение чисел) можно легко выполнять в уме. Главное, понять суть.
