Алгебраическая сумма и разность (для родителей)

для Ирины

«И какой тут знак тогда?» — возмущенно сказал один из моих учеников, когда уже после урока английского, у нас зашла речь о его домашнем задании по математике. Он собирал свой комплект Starlight, и неожиданно выпала тетрадь по математике. «Ещё математика же!» — яростно воскликнул ребенок, который как раз описывал мне, сколько ему на сегодня и на завтра задали (чтобы избежать диктанта на следующем уроке, я так подозреваю). «А что математика?» — спросила я. «Ну вот же!» — он раскрыл тетрадь и ткнул пальцем в задание. «Приведите подобные слагаемые. Я вообще не понимаю, реально. Я сложил, учительница говорит, нет, здесь минус должен быть, а сама говорит, что подобные слагаемые складываются. Я её спрашиваю, они складываются? Да, говорит, всё правильно, складываются, поэтому здесь будет минус. Ничего не понял. Вот здесь пример. И какой тут знак тогда?»

Сейчас прошло несколько лет, давно разобрались, но вопрос этот остается у многих детей. И в личку мне его пишут регулярно. Я даже не могу сказать сложно или нет… У меня одним из первых постов в блоге идет как раз справка по подобным слагаемым, но я так понимаю, она слишком сжата. Давайте попробуем разобраться.

Вот, к примеру, сумма. Мы складываем числа. Было у нас три единицы и мы добавили к ним еще четыре. Получили семь единиц. Ученики объясняют это так: «Короче, у нас было там, ну, три яблока, да? и мы еще четыре как бы на тарелку кладем. Всего семь яблок» (конец цитаты). И что вы думаете? Действительно семь. Вы попробуйте, купите яблок и возьмите тарелку с полки. Трудность в другом. Давно прошли те времена, когда мы складывали яблоки, нарисованные ромашки, шоколадки и прочее. У нас алгебра. Но дети по-прежнему считают, что они знают, что такое сумма. Кого не спроси, все точно знают, что сумма — это сложение и давай про яблоки (ромашки и прочее) рассказывать. И сумма — это же всегда плюс. Где вы отрицательные ромашки видели? Поэтому мы слышим: «Я сложил эти подобные слагаемые, короче, 2c я сложил и 3c. Записал . Дальше сложил 5d и 4d. Получилось 9d. И что? Его куда вообще? Его прибавлять надо к или отнять? Как это не 9d? А сколько? Почему — 1d? Не, подождите…да, перед  5d минус. И что? Нет, я же складываю 5d и 4d, мы же должны складывать те, у которых буквы одинаковые, правильно? Я и сложил. Типа 5 и 4 — это же 9? При чем тут минус? Минус вообще не при чем, он там остаётся. Ну, там где-то в этом выражении, которое мы решаем.  Я помню про отрицательные числа, но они же на этой, как её, на прямой. А тут прямой нет. Тут просто числа типа с буквами! Не, так вообще непонятно. Я сложил, а знак какой?! Почему — 1d???!!!! если мы складываем два числа, то почему ответ меньше? И минус при чем?!»

У нас сейчас (шестой, седьмой класс) нет просто чисел. У чисел есть знак. И это может очень сильно облегчить нам жизнь. Но понимают ли это дети? Например, в школе нам говорят: «Запомни, любое отрицательное число может быть представлено в виде -1 • a. Понял?» В ответ: «Угу». Через день: «Ты что, не слушал, как можно представить — а?». «Слушал. Но это же не минус а, это  минус пять!».

Любую сумму мы можем превратить в разность и любую разность мы можем превратить в сумму, если по каким-то причинам нам так удобнее (это пригодится нам при работе с многочленами). Мы обычно не пишем знак «плюс» перед первым слагаемым в выражении, просто опускаем его, но когда объясняем, его все же какое-то время стоит писать. Минус перед первым слагаемым пишется всегда, это, я думаю, вы помните.

Мы не вычитаем и не складываем больше ромашки и яблоки. Мы всегда можем представить сумму как разность и разность как сумму. Нам позволяют это сделать знаки, которые стоят перед числами или буквами. Вот и всё. А теперь долго и занудно будем разбираться. В один пост всё не поместится.

Вот хотим мы сложить два и два.

2+2 = 4

Просто? А кто сказал, что должно быть сложно? Но на самом деле это выглядит вот так:

(+2) + (+2) = +4

Или хотим вычесть из пяти три.

5 — 3 = 2

Но на самом деле мы хотим сложить положительное число +5 и отрицательное число — 3. И на самом деле это выглядит так:

(+5) + (-3) = +2

Способы проверки сложения вы помните? Нет? Напомню.

Если мы слагаемые поменяем местами и снова получим тот же результат, то пример решён правильно.

(+2) + (+2) = +4  будем проверять? Думаю, и так все ясно.

Проверим (+5) + (-3) = +2

(-3) + (+5) = +2

Ответ верный.

Сложение ведь можно проверить и вычитанием. Если из суммы вычтем первое слагаемое и получим второе слагаемое, то пример решён правильно. Мы можем из суммы вычесть и второе слагаемое и это тоже будет проверка, но мы это сделаем чуть позже. А пока вычтем из суммы первое.

2 — 5  = — 3

Но ведь это тоже сложение. Вот что мы сделали на самом деле.

(+2) + (-5) = -3

Мы всегда складываем. Алгебраическое сложение — это сложение чисел и буквенных выражений с разными знаками. Алгебраическая разность — это один из способов эту сумму записать. Неудобно нам расписывать (+2) + (-5) = -3, запишем короче: 2 — 5  = — 3

Давайте возьмем другой пример.

Приведем подобные слагаемые.

2m — 7m + 3m — 12m + 5 m = 

Зачем нам это? Как зачем? Мы готовимся к работе с многочленами.

Мы видим, что у первого слагаемого нет знака. Поставим его. Потом мы можем его не писать, но при объяснении это полезно.

Посмотрите. Каждое наше слагаемое имеет свой знак. Эти слагаемые, каждое из которых имеет свой знак, они просто стоят рядом.

пять

И что нам с ними делать? Складывать. Между ними подразумевается знак «плюс», это и есть алгебраическое сложение. Обычно эти плюсы мы не пишем, но давайте сделаем их на этот раз «видимыми».

7

Мы ничего не можем переставлять в разности, но можем переставлять в сумме. От перестановки слагаемых сумма не меняется. Переставим слагаемые, как нам удобно.

_3

«Соберем» отдельно слагаемые со знаком «плюс» и слагаемые со знаком «минус».

И теперь мы получим ответ как раз на тот вопрос, с которого начали. «А какой тут знак?». Сначала сложим три слагаемых со знаком «плюс». Получим + 10. Затем сложим те, что со знаком «минус».  Прибавим к семи отрицательным m двенадцать отрицательных m. Что получим? Девятнадцать отрицательных m. И что мы с ними сделаем? Прибавим к десяти положительным m. И получим минус девять (девять отрицательных m).

_2

Уберем все «плюсы». Ведь обычно мы их не пишем, а только подразумеваем. Что получаем? Правильно, разность. То есть 10m — 19m = -9m.

_1Мы просто записали рядом результаты сложения положительных слагаемых (+10m) и результат сложения отрицательных чисел (-19m) и не стали писать между ними знак «плюс». Поэтому вопрос «какой знак дальше писать?» не имеет смысла. Какой получился знак у числа при сложении подобных, такой знак и пишите. А знак обозначающий действие всегда будет один. Это плюс. Знак сложения. Но мы его не пишем, чтобы не загромождать выражение. И поэтому получаем разность.

Еще раз проговорим то что мы сделали. Мы «собрали» (сложили) все подобные слагаемые со знаком «плюс», получили результат со знаком «плюс». Записали результат после знака «равно» (плюс перед положительным числом уже можно не писать). «Собрали» (сложили) все подобные слагаемые со знаком «минус». Получили результат со знаком «минус». И записали второй результат рядом с первым. Знак второго результата (минус девятнадцати m) и будет являться для нас знаком действия в том случае, если вам хочется считать, что мы вычитаем -19m из +10m. В этом случае мы называем это разностью. Вы же понимаете, что сумма и разность взаимосвязаны, и мы в любой момент можем представить сумму в виде разности и разность в виде суммы. Давайте на этом примере и рассмотрим (пока уберем буквы).

(+10) + (-19) = -9

(+10) — (+19) = -9

А теперь уберем все знаки, которые обычно не принято писать.

10 — 19 = -9

То есть если мы распишем разность, сделав видимыми все знаки и числа (см. ниже), которые мы обычно делаем «невидимыми», это будет сумма. И наоборот. «Спрячем» знаки — вот вам разность.

Но результат будет один и тот же. Так как второе выражение — это сумма, представленная в виде разности. По каким-то причинам нам может быть удобнее представить её именно так.

Если вы посмотрите внимательнее, то поймете, что разности нет. Мы просто разложили число -19 на два множителя и именно поэтому смогли сделать из суммы разность. Как разложили? Помните, в начала поста мы упоминали, что любое отрицательное число (-а, -b, -19, — 1000456 или — 7m) мы можем представить в виде такого произведения отрицательного и положительного множителей:

-a = (-1) · (+a)

-b = (-1) · (+b)

-19 = (-1) · (+19)

-1000456 = (-1) · (+1000456)

-7m = (-1) · (+7m)

Или такого произведения положительного и отрицательного множителей.

-a = (+1) · (-a)

-b = (+1) · (-b)

-19 = (+1) · (-19)

-1000456 = (+1) · (-1000456)

-7m = (+1) · (-7m)

Кстати, тоже самое касается и положительных чисел. Любое положительное  число (+а, +b, +19, + 1000456 или + 7m) мы можем представить в виде такого произведения двух положительных множителей:

+a = (+1) · (+a)

+b = (+1) · (+b)

+19 = (+1) · (+19)

+1000456 = (+1) · (+1000456)

+7m = (+1) · (+7m)

Или в виде такого произведения двух отрицательных множителей (пример использования такого разложения в конце поста):

+a = (-1) · (-a)

+b = (-1) · (-b)

+19 = (-1) · (-19)

+1000456 = (-1) · (-1000456)

+7m = (-1) · (-7m)

И если вы вспомните свой школьный курс алгебры, то вспомните также, что существует правило: мы не пишем единицу, мы оставляем от нее только знак.

И наш пример на самом деле выглядит так:

(+10) — (+19) = (+10) + (-1) · (+19) = -9

Так что это все равно сумма. Но когда нам нужно представить нашу сумму в виде разности (нам нужно сократить или найти общий множитель и так далее, в общем, по каким-то причинам нам нужно, чтобы это была разность), то превращаем отрицательное слагаемое в произведение минус единицы и положительного слагаемого и получаем разность.

Отступление для родителей:

Вы знаете, когда начинаешь объяснять это знакомым, обычно спрашивают: а зачем? Намного проще объяснить ребенку, что можно вычесть, зачем «грузить» его тем, что любое положительное число можно разложить на два отрицательных и прочим? Затем, что без этого потом бывает достаточно трудно объяснить почему, например, меняется знак в скобке. И еще много всего очень просто объяснить именно благодаря тому, что положительное число можно разложить на два отрицательных множителя или отрицательное на отрицательный и положительный множители.

Этот пост скорее рассчитан на тех, кто уже освоил действия с положительными   и отрицательными числами на координатной прямой. Так что в ближайшее время мы идем на «прогулку» по координатной прямой, на тот случай, если вы забыли, что это за действия. Может быть, даже в следующем посте.

P.S.

Ах да, чуть не забыла!

Мы же собирались проверить решение примера (+5) + (-3) = +2 ещё одним способом. Давайте. Вычтем теперь из суммы (это число +2) наше второе слагаемое (число -3). Что мы должны получить, если пример решен правильно? Первое слагаемое (то есть число +5).

+2 — (-3) =

На этом этапе меня недавно спросили: «Что, и тут, что ли, сумма? Мы прибавляем к плюс двум число с двумя минусами? Бывает разве число с двумя знаками?» Нет. Мы прибавляем к + 2 произведение. Вернитесь назад и посмотрите о чем мы говорили немного выше. Что любое положительное число может быть представлено произведением минус одного и отрицательного числа. То есть мы прибавляем к +2 произведение минус одного и минус трех. И на самом деле пример выглядит так:

+2 + (-1)·(-3) =

Просто единицу мы обычно не пишем. Оставляем её невидимой. Отсюда и берутся два минуса перед тройкой. Хотя ребенок мой, когда я объясняла, интерпретировал это так: «А, то есть мы добавляем к плюс двум число противоположное минус трем?» Так что восприятие у всех разное. Число противоположное минус трем у нас какое? Вот именно. Плюс три. Это к вопросу о том, что лучше сначала поработать на координатной прямой.

Какой вывод мы должны сделать? Если мы видим что наше число это произведение двух отрицательных чисел, то значит это разложенное на отрицательные множители положительное число. Следовательно, это число +3. Помните правило знаков? Минус на минус дает плюс. Мы для удобства превратили, сами того не замечая (просто решили проверить пример с помощью разности) положительное число в произведение двух отрицательных. На координатной прямой все эти манипуляции намного понятнее.

И результат будет:

+2 — (-3) = +5

+2 + (-1)·(-3) = +5

+2 + (+3) = +5

Мы проверили. Решение было верным. Проще всего показать почему именно так, можно на координатной прямой. Как только будет возможность, мы это рассмотрим.

 

 

 

 

 

Добавить комментарий