Старинный способ умножения (для родителей)

Про Египет уже писала, про Древний Рим пока не собралась… Попросили объяснить подробнее старинный способ умножения из книги «Вечера занимательной арифметики». Как смогла 🙂

Не буду сейчас рассказывать ни об «Уставе ратных дел», ни о «Сошном письме» и не буду сравнивать этот способ с теми, которые использовались в то время в других странах. Просто объясню сам способ (им пользовались до восемнадцатого века). Он основан на сложении и вычитании и на «удвоении» и «раздвоении», то есть на увеличении числа в два раза и его делении пополам (было время, когда эти два действия считались самостоятельными).

Итак, что мы делаем? Предположим, нам нужно умножить 32 на 15.  Для этого разделим пополам множимое (сейчас мы чаще говорим «первый множитель») и умножим на 2 множитель (сейчас мы чаще говорим «второй множитель»).  Непонятно?

Давайте посмотрим на примере:

способ умножения_0

 

Что мы сделали? Смотрим. Мы решили умножить 32 на 15. Для этого мы «раздвоили» множимое (поделили на два), а множитель увеличили в два раза. Изменилось наше произведение? Нет, не изменилось.

32 • 15 равно 480 и 16 • 30 тоже равно 480, следовательно, 32 • 15 = 16 • 30. Мы просто записали произведение по-другому.  Мы ведь помним, что такое множимое? Это количество единиц, которое мы берем при умножении. Что такое множитель? Это то количество раз, которое мы берем множимое. То есть, если мы возьмем 32 единицы 15 раз или возьмем 16 единиц 30 раз, результат будет одинаков, мы получим 480 единиц.

Затем мы снова записали произведение по-другому, как 8 • 60.

То есть 32 • 15 = 16 • 30 = 8 • 60

И так до тех пор, пока мы не получаем при «раздвоении» множимого единицу. И дальше мы её, разумеется, «раздваивать» не можем. На этом мы прекращаем удвоение множителя, теперь он представляет собой результат умножения. Если мы возьмем одну единицу четыреста восемьдесят раз, то в результате получим 480 единиц.

Конечно, наш современный способ кажется нам более удобным, но не надо забывать, что способом «раздваивания и удваивания» пользовались в те времена, когда таблицы умножения ещё не знали и не знали правила, по которому осуществляется умножение в столбик. Только в 1703 году появился учебник Леонтия Филипповича Магницкого, который назывался «Арифметика», это был первый печатный учебник.

Осталось рассмотреть такой вопрос. Что делать, если множимое невозможно «раздвоить» без остатка? Давайте посмотрим.

Умножим 56 на 13.

способ умножения_2

Сначала мы «раздваиваем» множимое без особых проблем. Но вот мы дошли до момента, когда нужно «раздвоить» число 14. «Раздвоили». Получается 7 • 104. Но мы не можем «раздвоить» семерку так, чтобы получилось целое число, верно? Давайте подумаем, что представляет собой 7 • 104 ?

7 • 104 = (6 + 1) • 104 = 6 • 104 + 1 • 104

Что мы можем «раздвоить»? Число 6 в произведении 6 • 104. Его и «раздвоим». Множитель 104 удваиваем. А остаток — единицу умноженную на 104 (то есть 104 единицы) — пока запомним. Получили 3 • 208.

Но вот незадача. После «раздвоения» у нас снова число, которое не делится пополам — тройка. Но путь нам уже известен.

3 • 208 = (2 + 1) • 208 = 2 • 208 + 1 • 208

Как и в прошлый раз запоминаем образовавшийся «хвостик» (остаток), то есть 1 • 208 (или 208 единиц будет составлять наш остаток). А 2 в произведении 2 • 208 «раздваиваем». Множитель 208 удваиваем. И получаем 1 • 416. Множимое равное единице говорит нам, что процесс окончен. Но как быть с остатками, ведь мы их для чего-то запоминали? В старину поступали следующим образом. Вычеркивали произведения, которые служили «заменителями» (в нашем случае это произведение 6 • 104 и произведение 2 • 208). Они нам больше не нужны. Если вы внимательно посмотрите на столбик, то увидите, что левая его часть — это результаты деления семерки на два («раздваивания» семерки), и мы получили три и единицу в остатке. Почему мы не используем 6 и 2, а используем именно  нечётные числа, смотрите ниже.

способ умножения_3

Попробую объяснить по-другому. Когда мы умножали 7 на 104, мы брали число 7 (семь единиц) 104 раза. Да, я в курсе, что существует переместительный закон умножения, и вы, конечно же, имеете право сказать, что мы берем число 104 (104 единицы) семь раз. Если вам удобнее рассуждать так, то делайте как вам удобнее. Результат не изменится. Но в книге шла речь именно о множимом и множителе, как было раньше, поэтому мне не хотелось бы менять термины. Итак, мы берем число 7 сто четыре раза. Но так как мы не в силах его «раздвоить» мы берем 6 единиц (которые мы можем «раздвоить») и мы берем эти шесть единиц сто четыре раза. Что у нас остается? Ещё одна единица взятая 104 раза, то есть в результате 104 единицы (наш остаток). Мы его запомнили и работаем дальше.

Так вот. Когда мы пришли к финишу, то есть к 1 • 416, то нам самое время вспомнить, что это результат работы с произведениями, которые не были полными, мы отщипнули и спрятали остаток (хорошо-хорошо, мы ничего не щипали, просто запомнили его). И теперь пора добавить эти остатки к нашему результату, иначе результат будет неполным.  Если вы посмотрите на правую часть столбика, то увидите, что именно это мы и делаем, добавляем остатки. Результат у нас в последней строке, и к нему добавляются 104 (первый остаток, который мы запомнили) и 208 (второй остаток, который мы запомнили). Мы не можем учитывать строки 6 • 104 и 2 • 208, так как они были заменены на другие произведения 6 • 104 = 3 • 208, а 2 • 208 = 1 • 416. Мы использовали их только для удобства, чтобы можно было «раздваивать» множимое. Если мы посчитаем и то и другое, то получим избыточный результат.

способ умножения_4

Именно поэтому эти строки вычёркиваются и при суммировании учитываются только те строки, у которых множимым является нечетное число (то число, которое стоит в столбике с левой стороны, в нашем примере 7, 3 и 1).

Но будьте внимательны! Семь, три и единица — это множимое, эти числа указывают нам на строки, множители которых мы должны сложить (числа с правой стороны).

 

Именно эти числа мы и складываем .

104 + 208 + 416 = 728

И некоторые расчеты, чтобы вы могли посмотреть внимательнее.

56 • 13 = 728

28 • 26 = 728

14 • 52 = 728

7 • 104 = 728

6 • 104 + 1 • 104 = 728

6 • 104 3 • 208

3 • 208 + 1 • 104 = 728

2 • 208 + 1 • 208 + 1 • 104 = 728

2 • 208 1 • 416

1 • 416 + 1 • 208 + 1 • 104 = 728

В целом, способ любопытный. Можно использовать, чтобы работать с составом числа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Добавить комментарий