Неравенство треугольника (для родителей)

Для Лены.

Сначала то, что нужно срочно. Показать что длина одной стороны треугольника будет меньше, чем сумма двух других сторон, можно просто при помощи полосок бумаги (разрежь листок в клетку). Берешь задачник по геометрии и нарезаешь полоски такого размера, как там указано (можешь составить примеры сама).  У меня в крупную клетку, другого листа нет сейчас под рукой. Но суть не изменится, можно взять палочки деревянные, пластиковые трубочки для напитков, что есть под рукой.

Например, у тебя длина одной стороны равна 13 см, а длины двух других — шесть и четыре сантиметра.

Пусть попытается составить из них треугольник и убедится, что составить треугольник невозможно. Концы отрезков (сторон) просто не «сойдутся», не дотянутся друг до друга. Но это что касается демонстрации.

WhatsApp Image 2

Теперь про объяснение. Расстояние я обозначаю при помощи ||, потому что так оно обозначается в нашем учебнике и так привычнее. Можно писать просто AC, АВ и так далее (в большинстве учебников именно так).

Сначала можно рассмотреть такой случай — когда у нас длина одной из сторон равна сумме длин двух других сторон. Точно также пробуем и убеждаемся, что «не сходится».  Не получится здесь треугольник, а получится прямая с тремя точками. Можно уложить разрезанную полоску на целую, чтобы было нагляднее, я ниже поставлю фото. Но и так видно, что они равны, и если мы наложим разрезанную полоску на целую, они совпадут.

WhatsApp I5

WhatsApp 6

И вспоминаем свойство расстояний, на котором можно построить доказательство теоремы о неравенстве треугольника. Какое-то большее расстояние (длина) может быть равна сумме двух других меньших расстояний (длин) вот в каком случае. Было у нас расстояние. Например, все те же 13 см, отрезок  АС у нас был. И поставили мы на этом отрезке точку В. И эта точка разделила наш отрезок на два отрезка поменьше. Например, на отрезки АВ длиной 9 см и ВС длиной 4 см. Что имеем? Имеем третье свойство расстояний, оно гласит: «Для любых точек А, В и С расстояние |АС| меньше или равно сумме расстояний |АВ| и |ВС|».

То есть у нас есть два случая:

1) либо |АС|  равно сумме расстояний |АВ| и |ВС|,

2) либо|АС| меньше, чем сумма расстояний |АВ| и |ВС|.

Давай рассмотрим первый случай, когда |АС|  равно сумме расстояний |АВ| и |ВС|. Собственно, мы его уже рассмотрели, используя бумажную полоску, можно разрезать шнурок или любой другой подручный материал, смысл все тот же: если ты разделила что-то целое на две части, не обязательно равные, то сумма этих частей равна целому (надеюсь, математики меня за такие формулировки не предадут анафеме). Поэтому, если ты с помощью точки разделила расстояние (длину отрезка) на две части, то сумма длин этих частей даст тебе изначальное расстояние (изначальный отрезок). Но что еще это означает? То что, если расстояние |АС|  равно сумме расстояний |АВ| и |ВС|, то точка В лежит между А и С. Почему? Потому что B есть в названии обоих наших отрезков, которые в сумме дают нам расстояние |AC|. А две другие точки, которые присутствуют в названии этих отрезков, это как раз точки, которые обозначают начало и конец расстояния (отрезка) |AC|. Значит, точка B находится между ними, а мы помним, что «три точки принадлежат одной прямой тогда и только тогда, когда одна из них лежит между двумя другими«.  Из трех точек, лежащих на одной прямой, треугольник нам не сделать никак. Все эти объяснения сопровождаем разрезанием полоски бумаги пополам, обозначаем точки на концах отрезков.

3

4

Но у нас есть второй случай: |АС| меньше, чем сумма расстояний |АВ| и |ВС|. Может ли в этом случае |AC| быть расстоянием, которое точка В поделила на меньшие части |АВ| и |ВС|? Нет. Потому что, если бы это было так, то мы пришли бы к первому случаю, части|АВ| и |ВС| дали бы нам в сумме|АС|. Из этого мы можем сделать вывод, что точка B не лежит между А и С, иначе мы опять бы пришли к первому случаю, и расстояние |AC| было бы равно сумме расстояний |АВ| и |ВС|. И мы опять же помним, что «три точки принадлежат одной прямой тогда и только тогда, когда одна из них лежит между двумя другими». Значит, B не принадлежит той прямой, которой принадлежат точки А и С и не лежит на ней.  А где же она лежит? Да где угодно, кроме этой прямой. Обычно в этом месте дети говорят: ну, может,  слева от А поставить B?  Давайте, что нам жалко, что ли?  Поставили? Нет, вот нарисуйте. Что получилось? Теперь точкой, которая лежит между двумя другими оказалась А. То есть у нас изменились названия отрезков, но суть не измениться. Просто «изначальное» расстояние, которое мы делили на две части, стало называться не |АС|, а |ВС|. Но смысл действия тот же. У нас было какое-то расстояние (как его не назови хоть АС, хоть DG, хоть ZY) и мы поделили его на две части, поставив точку, которая разделила это расстояние на два поменьше (и в сумме эти два расстояния поменьше дадут нам «изначальное» расстояние).  И эта точка, которая делила, обязательно будет лежать между двумя другими, иначе как бы она делила? Представь, что ты разрезаешь ленту на две части, а разрез — это точка делящая расстояние на две части. Это опять первый случай. Повторенье — мать ученья.

Но если нам говорят следующее… У нас есть три расстояния (три отрезка). Они образованы тремя точками. Берем подсобные материалы (у меня три отрезка из пластилина и бумажные точки) и будем раскладывать.

треугольника_9

Можем сразу же проверить складывается ли из них треугольник. Пробуем менять.треугольника_10

названия вершин, чтобы убедится, что от букв ничего не зависит. Иначе получится как всегда: вот я букву переставил и теперь все хорошо, расстояние |АС| стало больше/меньше/равно, короче, ура, все решил(а)!

И каждый из этих трех отрезков меньше, чем сумма двух остальных. То есть любые два, если их сложить, не будут равны длине третьего. Этот получившийся из двух новый отрезок будет больше третьего. И никакой из этих трех отрезков не будет изначальным расстоянием для двух других. Проверим?

треугольника_11треугольника_14

Все сочетания выкладывать не буду, думаю, справитесь сами.

На какую мысль это нас наводит? Что одна из точек будет не на прямой, так как для того, чтобы все три лежали на прямой, нам нужен первый случай, когда сумма двух отрезков дает длину третьего (смотрим еще раз фото с бумажными полосками). А раз она не лежит на прямой, значит мы можем построить из этих трех точек треугольник (даже если угол будет очень мал).

P.S. И еще один номер программы возможный к исполнению — мы вероятно захотим уложить все отрезки в ряд, потому что родители учились давно и просто не помнят, наверняка можно придумать что-то, чтобы отрезок был равен сумме двух других, даже если мы до этого все перемеряли (см. фото выше). Сейчас мы их в ряд уложим и тут мы до правды дойдем. Пусть уложит. Дойдем мы до правды. Вот она. Первый случай, когда расстояние |АС|  равно сумме расстояний |АВ| и |ВС|, требует от нас только двух отрезков на прямой. Третий образуется за счет суммы этих двух отрезков. У нас даже буквы нет, чтобы обозначить конец отрезка, который начинается в точке C. Мы, конечно, можем взять любую букву. Но по условию теоремы у нас три точки.

треугольника_15

И несмотря на то, что мы всё перемеряли, нам все равно надо попробовать уместить два отрезка в третий. Мы же это делали (см. выше и два отрезка преспокойно укладывались в третий).

треугольника_19

треугольника_20

Ну и что, что в первом случае третий был равен сумме двух других? Здесь тоже как-нибудь втиснем, родители просто не знают, понятное дело. Надо хотя бы попробовать, иначе какие мы исследователи.

треугольника_16

Что получилось? Нет, не охапка дров, как ты могла подумать, глядя на фото. У нас получился «перехлест», который возник, как раз потому, что два отрезка вместе оказались длиннее, чем третий. Попробуем избавится от «перехлеста». Но как? Ведь точки А и С должны остаться на месте. Иначе они перестанут соединять отрезки (можно сделать точки из пластилина другого цвета, чтобы было понятнее). Значит, куда мы можем двигать отрезки? Вверх. До тех пор пока они не соединятся в одной точке, точке В.

треугольника_17

И что получаем? Треугольник.

треугольника_18

Теперь сформулируем «как положено».

Теорема (неравенство треугольника)

Из её формулировки понятно, что теорема — это только второй случай, но мы используем первый случай (когда |АС|  равно сумме расстояний |АВ| и |ВС|) в доказательстве.

Формулировка из учебника :

Для любых точек A, В и С, не принадлежащих одной прямой, расстояние |AC| меньше суммы расстояний |AВ| и |ВC|.

Раньше (в начальной школе) мы знали такую формулировку (с её помощью мы проверяли можно ли построить треугольник):

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.

Доказательство:

Пусть точки A, В и С не лежат на одной прямой (рисуем любой треугольник).

Тогда по третьему свойству расстояний

|AC|≤|AВ|+|ВC|

То есть либо |AC|<|AВ|+|ВC|, либо |AC| =|AВ|+|ВC|.

Но равенство |AC| =|AВ|+|ВC|здесь выполнятся не может, так как оно означает, что точка B лежит между точками A и С. Но одна точка может лежать между двумя другими, только если все три точки принадлежат одной прямой. А это противоречит условию. Следовательно, остается

AC|<|AВ|+|ВC|. чтд.

 

Добавить комментарий