Системы счисления_1. Десятичная система.

Обсуждаем здесь.

Десятичную систему счисления мы все изучаем с детства, она нам привычна и понятна. Вопросы возникают, когда нам нужно перевести число, написанное в десятичной системе счисления, в систему с другим основанием. Меня недавно спросили как я объясняла этот перевод единиц детям, эту тему они проходили в рамках курса информатики.

Объясняла так. Прежде всего, мы рассмотрели, что такое основание системы счисления. Основаниеэто количество значков (цифр или букв), которое мы используем, чтобы записывать числа.

Например, сколько значков (цифр или букв) мы используем в десятичной системе? 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Посчитали? Да, 10 цифр. Основание десятичной системы счисления равно 10.

В двоичной системе счисления? 0 и 1. Два значка (цифры). Основание двоичной системы равно 2.

В шестнадцатиричной? 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. A будет обозначать число 10, B — число 11, C — число 12, D — число 13, E — число 14, F — число 15. Всего значков (цифр и букв) у нас 16 (не забыли про нуль). Основание шестнадцатиричной системы равно 16.

Принцип, я думаю, понятен. Теперь нужно понять, как мы будем использовать эти значки.

Давайте вернемся к десятичной системе, как наиболее понятной. Как мы используем значки этой системы? У нас их 10 штук: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Как же мы используем их, чтобы записать числа? Просто написание этих значков не имеет смысла. Нам нужна система разрядов. И она у нас есть. Мы начинаем её изучение в начальной школе.

Отступление для родителей.

Собственно весь пост написан для родителей, у которых дети учатся дома. Так как школьные учителя всё это знают. Итак, для родителей. Объяснения, которые я здесь пишу, не для детей, а для вас, потому что как это ни странно, но многие взрослые после школы, забывают систему разрядов (вы не забыли? тогда дальше можно не читать). Для взрослых она становится настолько естественной, что большинство искренне не понимает, что тут непонятно родному чаду и что тут вообще объяснять? (да, я тоже плохо помню себя во втором классе). Все, что так очевидно вам, не всегда очевидно ребенку, хотя в школе терпеливо проходят разряды десятичной системы, один за другим. Ребенок может учиться дома, а не в школе, он мог пропустить по болезни, прослушать, ему могла не подойти форма объяснения, ваша задача — помочь. Но если по каким-то причинам ребенок не освоил разряды той системы, которая считается для нас естественной, если он не осознает, что он делает, когда складывает, вычитает, умножает и делит, если для него при делении цифры, которые он делит — это не сотни тысяч, десятки тысяч и так далее, а «делим первую циферку», то объяснить ему остальные системы счисления и много всего другого будет непросто. Если есть проблемы, попробуйте объяснить на счетных палочках или спичках или на рисунке, я напишу позже или можете посмотреть здесь пример со стаканчиками и скитлс. Я имею в виду маленькие разряды, конечно. Большие, с огромным количеством единиц, объясняем по аналогии. Что касается написанных здесь объяснений, то вам только кажется, что вы путаетесь в нагромождениях единиц, десятков единиц и прочих. Возьмите листок бумаги и карандаш. Начертите разрядную таблицу и попробуйте так же разобрать любое число. Только звучит громоздко, на практике все проще.

Сейчас рассматриваем только целые числа. Нарисуем таблицу. Или используем специальную заготовку (разрядную рамку), её можно положить на любой лист и писать. Делается очень просто — один раз рисуете разрядную таблицу на листочке в клеточку, по желанию раскрашиваете и наклеиваете на картон. У нас была вот такая (на листочке в клеточку, потому что удобно класть на тетрадный лист).

IMG_1955

Разберем на конкретном примере. У нас есть число 55 342. Разберем это число по разрядам. Смотрим разряды справа налево (⇐), ведь именно так мы проходим их в школе (постепенно), хотя сами числа пишем слева направо (⇒).

Число 55 342 , какие разряды в нем заполнены?

Число 55 342 содержит две  единицы разряда «единиц». Воспользуемся значком, который обозначает две единицы (это что за значок? да, это знакомая нам с детства цифра «два»). Воспользуемся цифрой два, чтобы обозначить количество единиц в разряде. То есть впишем в разряд, сколько штук единиц там находится.

IMG_1942

Вписали? Идем дальше. Наше число содержит четыре единицы разряда «десятки единиц» или 4 десятка. Воспользуемся значком, который обозначает 4 единицы (цифрой «четыре»), чтобы обозначить количество единиц в разряде. Вписываем 4 в разряд «десятки единиц». Что у нас получилось?  Число, которое у нас пока что записано,  находится в пределах класса единиц (напомню, класс объединяет три разряда). В нём 42 единицы, которые разложены по двум разрядам. 2 единицы мы поместили в разряд «единиц», а вот откуда у нас взялись единицы десятков? У нас от 42 осталось 40 единиц (две мы уже записали), могли мы также записать их в разряд «единицы»? Дело в том, что в один разряд мы можем записать что-то, только используя один значок (цифру) нашей десятичной системы счисления. Что же делать? Именно для этого мы и ввели разряд «десятков». Мы разбиваем наши 40 единиц  на 4 одинаковые группы по 10 единиц. И каждую такую группу называем «десяток единиц». У нас получились 4 единицы разряда «десятки единиц», и теперь мы спокойно смогли их записать — четыре штуки десятков у нас. И мы знаем, что если у нас записано какое-то количество единиц в разряде, например 4 десятка, значит каждая из этих единиц (каждый из этих десятков) содержит 10 единиц предыдущего разряда, в нашем случае предыдущий разряд — это единицы. Почему так происходит, мы разберем позже.

IMG_1943

В числе 55 342 также есть 3 единицы разряда «сотни единиц». Воспользуемся значком, который обозначает 3 единицы (цифрой «три»), чтобы обозначить количество единиц в этом разряде. Вписываем 3 в разряд «сотни единиц».

IMG_1944

Число, которое пока что записано в нашей разрядной таблице, находится в пределах класса единиц. Помним, что в нём 342 единицы. Но записать его просто так мы не можем, у нас не может быть более одного значка (цифры) в одном разряде. Разбиваем число по разрядам. 2 единицы мы поместили в разряд «единиц», 40 единиц разбили в группы, каждая по 10 единиц (то есть разбили на десятки) и поместили эти 4 единицы десятков в соответствующий разряд. Что у нас осталось? 300 единиц. Как бы нам их сгруппировать? Может быть в группы по 10? Мы ведь уже делали такое, удачный опыт был. Попробуем. Получили 30 групп по 10 единиц или 30 десятков. Но мы не можем записать 30 в разряд десятков, у нас в одном разряде допустим только один значок (цифра). Значит, нужно сделать так, чтобы группы содержали большее количество единиц. Сгруппируем их по 100 единиц. У нас получается 3 группы по 100 единиц (каждая такая группа в сто единиц называется сотней). Или 3 сотни единиц. Итак, число 342. Сколько оно содержит сотен? Три. Десятков? 34 (потому что три сотни дают нам 30 десятков и 40 дает нам 4 десятка). Единиц в этом числе? 342 (из них 300 единиц дают нам 3 единицы разряда сотен единиц, 40 единиц дают 4 единицы разряда десятков единиц и две единицы мы пишем в самый младший разряд, мы не можем их сгруппировать).

Второе отступление для родителей.

Что нужно объяснить ребенку.

Сколько единиц, десятков и сотен содержит число. В какой разряд их записать и какой значок при этом использовать. Почему он может в каждый разряд записать только от 1 до 9 единиц. Потому что для записи десятичной системе существует только 10 значков (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Значение этого значка мы понимаем, когда смотрим на место этого значка (цифры) в числе. Место цифры в числе ещё называют позицией. Поэтому десятичная и подобные ей системы называются позиционными. В них один и тот же значок (одна и та же цифра) могут означать совершенно разное количество единиц. Если цифра 6 стоит на втором месте справа налево (например, число 4567), она будет означать 6 десятков или 60 (ведь она стоит в разряде десятков). Если эта же 6 стоит на пятом месте справа налево (например, число 67908), оно будет означать 6 десятков тысяч или 60 000 (ведь она стоит в разряде десятков тысяч).

Когда нам дано уже не девять, а десять единиц, это тоже единица, но единица другого разряда, и эта единица представляет собой группу из 10 единиц — десяток. То есть ребенку нужно понять, что когда он вписывает 3 в разряде десятков — это не число 3. Это три единицы разряда десятков (три группы по 10 единиц), три штуки десятков или число 30. Для записи в разряде десятков единиц (для обозначения сколько же штук десятков у нас в этом разряде) мы тоже можем использовать только значки (цифры) от 0 до 9. Как только у нас «скопилось» 10 групп по 10 единиц (то есть десять десятков), мы переходим в следующий разряд, разряд сотен единиц и каждая единица такого разряда — это группа, которая содержит 10 групп по 10 единиц или 100 единиц, так как 10 на 10 — это 100. То есть в разряде «сотни единиц» мы записываем сколько таких групп по 10 десятков единиц или по 100 единиц содержит наше число. Здесь мы также можем использовать только значки от 0 до 9. Десять сотен дают нам тысячу единиц или 100 десятков (1000 единиц = 10 сотням = 100 десяткам). Думаю, дальше понятно. Ребенку нужно четко понимать сколько:

единиц в десятке,

единиц в сотне/десятков в сотне,

сотен в тысяче/десятков в тысяче/единиц в тысяче,

тысяч в десятке тысяч/сотен в десятке тысяч/десятков в десятке тысяч/единиц в десятке тысяч и так далее.

Дети обычно спрашивают, зачем вообще нужны разряды. Можно привести пример египтян, они выходили из положения по-другому. Просто обозначали единицы, десятки, сотни и тысячи разными значками. И когда складывали, то писали например, 9 значков, обозначающих десятки, подряд, вместо числа 90, запись которого в десятичной системе требует 2 значка — 9 и 0. То есть для того, чтобы записать число 342 в Древнем Египте, нам понадобилось бы написать три одинаковых значка, обозначающие сотни, затем четыре одинаковых значка, обозначающих десятки и два одинаковых значка для обозначения единиц.  То есть всего девять значков. А так нам хватило трех.

Вернемся к записи числа. В числе 55 342 также есть 5 единиц разряда «тысячи единиц». Мы перешли в другой класс, из класса единиц в класс тысяч (каждые три разряда — это новый класс). Воспользуемся значком, который обозначает 5 единиц (цифрой «пять»), чтобы обозначить количество единиц в разряде. Вписываем 5 в разряд «тысячи единиц».

IMG_1945

Как именно группируются единицы, мы уже подробно разобрали и можем объяснить по аналогии. Сейчас у нас записано число 5342. Сколько оно содержит тысяч? 5. Сколько оно содержит сотен? 53. Десятков? 534. Единиц в этом числе? 5342 (из них две мы пишем в разряде единиц, так как мы их не группировали).

И последнее. В числе 55 342 также есть 5 единиц разряда «десятки тысяч единиц». Мы по-прежнему в классе тысяч. Снова воспользуемся значком, который обозначает 5 единиц (цифрой «пять»), чтобы обозначить количество единиц в разряде (мы уже пользовались им в предыдущем разряде). Вроде бы и там и там пять, а обозначает разное количество единиц в зависимости от разряда. Вписываем 5 в разряд «десятки тысяч единиц».

IMG_1947

Сейчас у нас записано число 55 342. Сколько оно содержит десятков тысяч? 5. Сколько оно содержит тысяч? 55. Сколько оно содержит сотен? 553. Десятков? 5534. Единиц в этом числе? 5 342 (из них две мы пишем в разряде единиц, так как мы их не группировали).

Для того, чтобы ребенок мог определять сколько единиц какого разряда у в числе, нужно выучить последовательность и названия разрядов. И справа налево и слева направо. Сделайте небольшое упражнение, оно помогает определить разрядов в числе и сколько единиц в каждо из этих разрядов.

Для начала можно продолжать пользоваться разрядной рамкой. Также вырежем небольшой «уголок» из листочка в клеточку. Вот такой.

IMG_1954

Закроем этим «уголком» разряд единиц, какой разряд теперь у нас первый справа? Десятки единиц. 5534 — это количество десятков, которые содержит наше число. 5534 штук десятков в нем содержится.

IMG_1950

Теперь закроем этим «уголком» не только разряд единиц, но и разряд десятков, какой разряд теперь у нас первый справа? Сотни единиц. 553 — это количество сотен, которые содержит наше число. 553 штуки сотен в нашем числе. И так далее.

IMG_1951

IMG_1952

IMG_1953

На «уголке» можно выписать что чему равно, чтобы ребенок мог ориентироваться на первых порах. Дописываем по мере прохождения разрядов и классов.

1 десяток единиц = 10 единицам

1 сотня единиц = 10 десяткам единиц = 100 единицам

1 тысяча единиц = 10 сотням единиц  = 100 десяткам единиц = 1000 единиц

1 десяток тысяч единиц = 10 тысячам единиц = 100 сотням единиц = 1000 десятков единиц = 10 000 единицам.

И так далее. По мере того, как проходите разряд — дописываете. И когда ребенок выполняет упражнение, спрашиваете: «Вот у тебя 5 десятков тысяч единиц. Сколько это сотен?» И так далее.

Нужно объяснить, что, если мы движемся в  сторону увеличения разрядов (справа налево ⇐), то единица каждого последующего разряда (большего разряда) в 10 раз больше, чем единица предыдущего разряда.

IMG_1960

И наоборот, если мы движемся в  сторону уменьшения разрядов (слева направо ⇒), то единица каждого последующего разряда (большего разряда) в 10 раз меньше, чем единица предыдущего разряда. Поэтому система счисления и называется десятичной, её разряды — это степени числа 10. Такое объяснение подойдет для пятого класса (для ребенка, который знает, что такое степень и которому нужно повторить разряды). Для начальной школы можно использовать «в 10 раз больше» и «в 10 раз меньше».

IMG_1961

Когда уверенно будете пользоваться разрядной рамкой, можно перейти к определению разрядов сразу в числе. Сначала разряды и классы можно подчеркивать или выделять, как вам удобно. Закрыть разряд можно просто пальцем, без «уголка».

IMG_1958

 

 

 

 

Закрепление материала — ничего не подчеркиваем и не выделяем, выделяем разряды в «неразмеченном» числе.

Для тех, кто лучше понимает рисунки, постараюсь написать дополнение, но чуть позже.

И наконец. Для чего был написан этот длинный пост? И какое отношение он имеет к двоичной, шестнадцатеричной и прочим системам счисления? Самое прямое. Все остальные системы счисления тоже имеют разряды. И для того, чтобы свободно переводить разряды другой системы счисления в десятичную и обратно, надо прежде всего хорошо ориентироваться в разрядах именно десятичной системы. Тогда и остальное усвоится легко. А о двоичной и прочих системах счисления — в следующем посте.

 

 

Добавить комментарий