Длина окружности. Увеличим радиус, что будет?

Решали задачу. Попросили выложить. Выкладываю.

Итак, условие задачи: Как изменится длина окружности, если её радиус увеличить в 3 раза?

Решение (на рисунке оно тоже есть, выложу в конце).

С = 2πR = πd

C (новая окружность с увеличенным радиусом) = 2 • π • 3R = π • 6R = π • 3d = 3πd (следовательно длина окружности увеличится в 3 раза)

И поэтапно.

Жила была окружность. Самая обычная.

IMG_1851

Измерим её длину. Не в цифрах, просто, чтобы у нас было на чем показывать решение (значения вы потом можете подставить любые). Можно измерить ниткой или бумажной лентой, как мы делали здесь. Для разнообразия возьмем «шнурок» из пластилина.

IMG_1852

Вот она — длина окружности.

IMG_1853

«Разрежем» нашу окружность.

IMG_1854

И как мы уже делали вот в этом посте, разделим ее длину на три диаметра и небольшой «хвостик». Мы же знаем, что в длину окружности диаметр умещается примерно 3,14 раза (число π), то есть в длину любой окружности умещаются примерно три диаметра этой же окружности и еще примерно 14 сотых диаметра это же окружности. На самом деле больше 14 сотых. Ведь есть еще тысячные, десятитысячные и продолжать это дробление можно бесконечно, мы же помним, что π — иррациональное число. Но обычно мы округляем его до 3,14 (округляем до сотых). Поэтому  и можем сказать, что умещается примерно 3 диаметра и 14 сотых частей диаметра.

IMG_1857

Разделили.

IMG_1858

Мы же помним, что диаметр равен двум радиусам? А ведь увеличивать нам придется именно радиус. Как нам его получить? Разделим диаметр на две равные части.

IMG_1864

Разделили.

IMG_1865

Обращаем внимание, что 0,14 у нас  — это либо 14 сотых частей диаметра (внизу у нас все в измерено в диаметрах), либо это 14 сотых частей от двух радиусах (наверху все указано в радиусах), это тоже самое, ведь диаметр равен двум радиусам.

Теперь давайте подставим какие-нибудь значения, чтобы было понятно, как мы рассуждаем. Пусть R = 5 см, тогда d = 2R = 10 см.

IMG_1866

Итак, нас просят увеличить радиус в три раза. А сколько у нас получилось радиусов? Шесть (потому что в окружность входит 3 диаметра, а в каждом из них по 2 радиуса). И каждый из этих радиусов мы должны увеличить в три раза. То есть, если у нас «старый» радиус равнялся 5 см, то новый будет равняться чему? Правильно, 15 см. Было у нас шесть радиусов длиной 5 см, будет шесть радиусов длиной 15 см.

Используем радиус как мерку и из контрастного пластилина сделаем части для увеличения радиуса.

IMG_1867

Вот наши увеличенные радиусы. Если «старый» (начальный) радиус мы называли просто R, то этот мы будет 3•R, ведь он в три раза больше. А чтобы не писать каждый раз 3•R, назовем его R1 (на рисунке написан в нижнем регистре).

IMG_1868

К сожалению, фото крупнее не вышло, можно увеличить прямо на экране.

Итак, R (новый) = 3R.  И этот новый радиус равен 15 см. А чему в таком случае равен диаметр? Два радиусам или 30 см. Это новый диаметр (на рисунке d1). Я знаю, что и R1 и d1 надо бы писать в нижнем регистре, то есть это должна быть маленькая цифра внизу буквы, как на рисунке, но пока не разобралась, как это делать на WordPress.

Осталось определиться с «хвостиком». Как мы говорили, это 14 сотых частей от диаметра. Но от какого диаметра их теперь считать? Конечно, от нового (ведь мы увеличили радиусы и диаметр стал больше). Или мы можем это 14 сотых посчитать от 2 радиусов (радиусы тоже будут новые, те, что 15 см длиной, ведь мы же их увеличили). Как хотите. Давайте от диаметра (новый диаметр = 30 см). Умножаем 0,14 на 30 и получаем 4,2 см. Это 14 сотых частей нашего нового диаметра (дэ один).

Итак, мы знаем, что в длину окружности умещаются (примерно) три диаметра этой окружности и еще 14 сотых частей диаметра. Проверим. Сложим наши новые диаметры и добавим 14 сотых диаметра.

30+30+30+4,2 = 90 + 4, 2 = 94,2 см

Длина новой окружности (радиус которой увеличен в три раза) равен 94,2 см.

А чему, кстати, была равна длина «старой» (начальной) окружности? Радиус там был равен 5 см, диаметр = 10 см, 0,14 диаметра = 1,4 см.

10 + 10 + 10 + 1,4 = 31,4 см

Это длина «старой» (начальной) окружности.

А теперь давайте разделим 94,2 см на 31,4 см. Что получили? Три. Длина нашей окружности увеличилась в три раза, как мы и считали при помощи формул в самом начале. Но сейчас мы убедились в этом ещё раз.

Решение. Рисунок тоже не получается крупным, он большой, но можно увеличить на экране  или посмотреть в pdf-файле окружность (кстати, если захотите рисовать, берите большой лист или склеивайте два).

IMG_1875

 

Добавить комментарий